2008年全国统一高考数学试卷（江苏卷）

$f\left(x\right)=\cos (\omega x-\frac{\pi }{6})$ 的最小正周期为 $\frac{\pi }{5}$ ，其中 $\omega >0$ ，则 $\omega =$

一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为.

$\frac{1-i}{1+i}$表示为 $a+bi$ $\left(a,b\in R\right)$，则 $a+b$=。

$A=\left\{\overline{)x}\right(x-1{)}^2<3x-7\}$，则 $A\cap Z$的元素个数为。

$\stackrel{\rightharpoonup }{a},\stackrel{\rightharpoonup }{b}$的夹角为 ${120}^{°}$， $\left|\stackrel{\rightharpoonup }{a}\right|=1,\left|\stackrel{\rightharpoonup }{b}\right|=3$，则 $\left|5\stackrel{\rightharpoonup }{a}-\stackrel{\rightharpoonup }{b}\right|$=。

在平面直角坐标系 $xOy$中，设 $D$是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域， $E$是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向 $D$中随意投一点，则落入 $E$中的概率为。

某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位： $h$），随机选择了50位老人进行调查.下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表.

在上述统计数据的分析中，一部分计算算法流程图，则输出的 $S$的值是

直线 $y=\frac{1}{2}x+b$是曲线 $y=\ln x(x>0)$的一条切线，则实数 $b=$。

在平面直角坐标系中，设三角形 $ABC$的顶点坐标分别为 $A(0,a),B(b,0),C(c,0)$，点 $P(0,p)$在线段 $OA$上（异于端点），设 $a,b,c,p$均为非零实数，直线 $BP,CP$分别交 $AC,AB$于点 $E,F$，一同学已正确算出 $OE$的方程： $(\frac{1}{b}-\frac{1}{c})x+(\frac{1}{p}-\frac{1}{a})y=0$，请你求 $OF$的方程：

将全体正整数排成一个三角形数阵：

按照以上排列的规律，第 $n$ 行 $\left(n\ge 3\right)$ 从左向右的第3个数为。

$x,y,z\in R^{+},x-2y+3z=0,\frac{y^2}{xz}$的最小值为。

在平面直角坐标系中，椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的焦距为2，以 $O$为圆心， $a$为半径的圆，过点 $(\frac{a^2}{c},0)$作圆的两切线互相垂直，则离心率 $e$=。

若 $AB=2,AC=\sqrt{2}BC$，则 $S_{△ABC}$的最大值.

$f\left(x\right)=a{x}^3-3x+1$对于 $x\in \left[-1,1\right]$总有 $f\left(x\right)\ge 0$成立，则 $a=$.

如图，在平面直角坐标系 $xOy$中，以 $ox$轴为始边做两个锐角 $\alpha ,\beta$，它们的终边分别与单位圆相交于 $A,B$两点，已知 $A,B$的横坐标分别为 $\frac{\sqrt{2}}{10},\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

（1）求 $\tan (\alpha +\beta )$的值；

（2）求 $\alpha +2\beta$的值.

在四面体 $ABCD$ 中， $CB=CD$ ， $AD\perp BD$ ，且 $E,F$ 分别是 $AB,BD$ 的中点，

求证：

（I）直线 $EF\parallel 面ACD$ ；
（II） $面EFC\perp 面BCD$ 。

某地有三家工厂，分别位于矩形 $ABCD$ 的顶点 $A,B$ ，及 $CD$ 的中点 $P$ 处，已知 $AB=20$ $km$ , $CD=10km$ ,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形 $ABCD$ 的区域上（含边界），且 $A,B$ 等距离的一点 $O$ 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道 $AO,BO,OP$ ，设排污管道的总长为 $ykm$ 。
（I）按下列要求写出函数关系式：
①设 $\angle BAO=\theta \left(rad\right)$ ，将 $y$ 表示成 $\theta$ 的函数关系式；
②设 $OP=x\left(km\right)$ ，将 $y$ 表示成 $x$ 的函数关系式。
（Ⅱ）请你选用（I）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短。

设平面直角坐标系 $xoy$中，设二次函数 $f\left(x\right)=x^2+2x+b(x\in R)$的图象与坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为 $C$。
（1）求实数 $b$的取值范围；
（2）求圆 $C$的方程；
（3）问圆 $C$是否经过某定点（其坐标与 $b$无关）？请证明你的结论。

（I）设 $a_1,a_2,\dots a_n$是各项均不为零的等差数列 $\left(n\ge 4\right)$，且公差 $d\ne 0$，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：
①当 $n=4$时，求 $\frac{a_1}{d}$的数值；②求 $n$的所有可能值；
（II）求证：对于一个给定的正整数 $\left(n\ge 4\right)$，存在一个各项及公差都不为零的等差数列 $b_1,b_2\dots \dots b_n$，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列。

若 $f_1\left(x\right)=3^{\left|x-p_1\right|},f_2\left(x\right)=3^{\left|x-p_2\right|},x\in R,p_1,p_2$为常数，且 $f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}{f}_1\left(x\right),f_1\left(x\right)\le f_2\left(x\right)\\ f_2\left(x\right),f_1\left(x\right)>f_2\left(x\right)\end{array}$.
（Ⅰ）求 $f\left(x\right)=f_1\left(x\right)$对所有的实数 $x$成立的充要条件（用 $p_1,p_2$表示）；
（Ⅱ）设 $a,b$为两实数， $a<b$且 $p_1,p_2\in (a,b)$，若 $f\left(a\right)=f\left(b\right)$，求证： $f\left(x\right)$在区间 $[a,b]$上的单调增区间的长度和为 $\frac{b-a}{2}$（闭区间 $[m,n]$的长度定义为 $n-m$）.

A．选修4-1　几何证明选讲

如图，设 $△ABC$的外接圆的切线 $AE$与 $BC$的延长线交于点 $E$， $\angle BAC$的平分线与 $BC$交于点 $D$.求证： $E{D}^2=EB·EC$.

B．选修4-2　矩阵与变换

在平面直角坐标系 $xOy$中，设椭圆 $4x^2+y^2=1$在矩阵对应的变换作用下得到曲线 $F$，求 $F$的方程.

C．选修4-4　参数方程与极坐标

在平面直角坐标系 $xOy$中，点 $P(x,y)$是椭圆 $\frac{x^2}{3}+y^2=1$上的一个动点，求 $S=x+y$的最大值.

D．选修4-5　不等式证明选讲

设 $a,b,c$为正实数，求证： $\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+abc\ge 2\sqrt{3}$.

记动点P是棱长为 $1$ 的正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的对角线 $B{D}_1$ 上一点，记 $\frac{D_{1}P}{D_{1}B}=\lambda$ 。当 $\angle APC$ 为钝角时，求 $\lambda$ 的取值范围.

请先阅读：
在等式 $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1(x\in R)$的两边求导，得： $\left(\cos 2x\right)`=(2{\cos }^{2}x-1)`$，由求导法则，得 $(-\sin 2x)2`=4\cos x(-\sin x)$，化简得等式： $\sin 2x=2\cos x\sin x$.
（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式 $(1+x{)}^n=C\begin{array}{c}0\\ n\end{array}+C_n^{1}x+C_n^2{x}^2+...+C_n^n{x}^n$&#xa0;（ $x\in R$，正整数 $n\ge 2$），证明： $n\left[\right(1+x{)}^{n-1}-1]=\underset{k=2}{\overset{n}{\sum }}k{C}_n^k{x}^{k-1}$（2）对于正整数 $n\ge 3$，求证：
（i） $\underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}(-1{)}^{k}k{C}_n^k=0$&#xa0; &#xa0;(ii) $\underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}(-1{)}^k{k}^2{C}_n^k=0$；&#xa0;（iii） $\underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{1}{k+1}{C}_n^k=\frac{2^{n-1}-1}{n+1}$