2022年中考数学专题：四边形（二）

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$ 的对角线交于点 $O$ ．已知 $\mathit{AB}=m$ ， $\angle \mathit{BAC}=\angle \alpha$ ，则下列结论错误的是 $($ 　　 $)$

如图，把含 $30°$ 的直角三角板 $\mathit{PMN}$ 放置在正方形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\angle \mathit{PMN}=30°$ ，直角顶点 $P$ 在正方形 $\mathit{ABCD}$ 的对角线 $\mathit{BD}$ 上，点 $M$ ， $N$ 分别在 $\mathit{AB}$ 和 $\mathit{CD}$ 边上， $\mathit{MN}$ 与 $\mathit{BD}$ 交于点 $O$ ，且点 $O$ 为 $\mathit{MN}$ 的中点，则 $\angle \mathit{AMP}$ 的度数为 $($ 　　 $)$

如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若 $\angle 1=19°$ ，则 $\angle 2$ 的度数为 $($ 　　 $)$

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$ 中， $E$ ， $F$ 是对角线 $\mathit{AC}$ 上的两点，且 $\mathit{EF}=2\mathit{AE}=2\mathit{CF}$ ，连接 $\mathit{DE}$ 并延长交 $\mathit{AB}$ 于点 $M$ ，连接 $\mathit{DF}$ 并延长交 $\mathit{BC}$ 于点 $N$ ，连接 $\mathit{MN}$ ，则 $\frac{S_{\mathit{\Delta AMD}}}{S_{\mathit{\Delta MBN}}}=($ 　　 $)$

如图．将菱形 $\mathit{ABCD}$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $\angle \alpha$ 得到菱形 $\mathit{AB}\text{'}C\text{'}D\text{'}$ ， $\angle B=\angle \beta$ ．当 $\mathit{AC}$ 平分 $\angle B\text{'}\mathit{AC}\text{'}$ 时， $\angle \alpha$ 与 $\angle \beta$ 满足的数量关系是 $($ 　　 $)$

如图，在平面直角坐标系中，菱形 $\mathit{ABCD}$ 的边 $\mathit{BC}$ 与 $x$ 轴平行， $A$ ， $B$ 两点纵坐标分别为4，2，反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 经过 $A$ ， $B$ 两点，若菱形 $\mathit{ABCD}$ 面积为8，则 $k$ 值为 $($ 　　 $)$

如图，矩形纸片 $\mathit{ABCD}$ ， $\mathit{AB}=4$ ， $\mathit{BC}=8$ ，点 $M$ 、 $N$ 分别在矩形的边 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{BC}$ 上，将矩形纸片沿直线 $\mathit{MN}$ 折叠，使点 $C$ 落在矩形的边 $\mathit{AD}$ 上，记为点 $P$ ，点 $D$ 落在 $G$ 处，连接 $\mathit{PC}$ ，交 $\mathit{MN}$ 于点 $Q$ ，连接 $\mathit{CM}$ ．下列结论：①四边形 $\mathit{CMPN}$ 是菱形；②点 $P$ 与点 $A$ 重合时， $\mathit{MN}=5$ ；③ $\mathit{\Delta PQM}$ 的面积 $S$ 的取值范围是 $4⩽S⩽5$ ．其中所有正确结论的序号是 $($ 　　 $)$

如图，点 $E$ 、 $F$ 在矩形 $\mathit{ABCD}$ 的对角线 $\mathit{BD}$ 所在的直线上， $\mathit{BE}=\mathit{DF}$ ，则四边形 $\mathit{AECF}$ 是 $($ 　　 $)$

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $E$ 是 $\mathit{BD}$ 的中点，则下列四个结论：

① $\mathit{AM}=\mathit{CN}$ ；

②若 $\mathit{MD}=\mathit{AM}$ ， $\angle A=90°$ ，则 $\mathit{BM}=\mathit{CM}$ ；

③若 $\mathit{MD}=2\mathit{AM}$ ，则 $S_{\mathit{\Delta MNC}}=S_{\mathit{\Delta BNE}}$ ；

④若 $\mathit{AB}=\mathit{MN}$ ，则 $\mathit{\Delta MFN}$ 与 $\mathit{\Delta DFC}$ 全等．

其中正确结论的个数为 $($ 　　 $)$

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$ 的边长为2， $O$ 为对角线的交点，点 $E$ ， $F$ 分别为 $\mathit{BC}$ ， $\mathit{AD}$ 的中点．以 $C$ 为圆心，2为半径作圆弧 $\mathit{BD}$ ，再分别以 $E$ ， $F$ 为圆心，1为半径作圆弧 $\mathit{BO}$ ， $\mathit{OD}$ ，则图中阴影部分的面积为 $($ 　　 $)$

已知 $\mathit{\Delta ABC}$的三个顶点都是同一个正方形的顶点， $\angle \mathit{ABC}$的平分线与线段 $\mathit{AC}$交于点 $D$．若 $\mathit{\Delta ABC}$的一条边长为6，则点 $D$到直线 $\mathit{AB}$的距离为　　．

正五边形的一个内角是 　　度．

如图，点 $E$ ， $F$ ， $G$ 分别在正方形 $\mathit{ABCD}$ 的边 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BC}$ ， $\mathit{AD}$ 上， $\mathit{AF}\perp \mathit{EG}$ ．若 $\mathit{AB}=5$ ， $\mathit{AE}=\mathit{DG}=1$ ，则 $\mathit{BF}=$ 　　．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=2$ ， $E$ 为边 $\mathit{AB}$ 上一点， $F$ 为边 $\mathit{BC}$ 上一点．连接 $\mathit{DE}$ 和 $\mathit{AF}$ 交于点 $G$ ，连接 $\mathit{BG}$ ．若 $\mathit{AE}=\mathit{BF}$ ，则 $\mathit{BG}$ 的最小值为 　　．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $O$ 是对角线 $\mathit{BD}$ 的中点，点 $P$ 在线段 $\mathit{OD}$ 上，连接 $\mathit{AP}$ 并延长交 $\mathit{CD}$ 于点 $E$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PF}\perp \mathit{AP}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{AF}$ 、 $\mathit{EF}$ ， $\mathit{AF}$ 交 $\mathit{BD}$ 于 $G$ ，现有以下结论：① $\mathit{AP}=\mathit{PF}$ ；② $\mathit{DE}+\mathit{BF}=\mathit{EF}$ ；③ $\mathit{PB}-\mathit{PD}=\sqrt{2}\mathit{BF}$ ；④ $S_{\mathit{\Delta AEF}}$ 为定值；⑤ $S_{\mathit{四边形}\mathit{PEFG}}=S_{\mathit{\Delta APG}}$ ．以上结论正确的有 　　（填入正确的序号即可）．

如图， $\mathit{PA}$， $\mathit{PB}$是 $\odot O$的切线， $A$， $B$是切点．若 $\angle P=50°$，则 $\angle \mathit{AOB}=$　　．

如图，将边长为1的正方形 $\mathit{ABCD}$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $30°$ 到 $A{B}_1{C}_1{D}_1$ 的位置，则阴影部分的面积是 　　．

如图， $\mathit{BD}$是正方形 $\mathit{ABCD}$的一条对角线， $E$是 $\mathit{BD}$上一点， $F$是 $\mathit{CB}$延长线上一点，连接 $\mathit{CE}$， $\mathit{EF}$， $\mathit{AF}$．若 $\mathit{DE}=\mathit{DC}$， $\mathit{EF}=\mathit{EC}$，则 $\angle \mathit{BAF}$的度数为 　　．

图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形 $\mathit{ABCD}$ 的对角线 $\mathit{BD}$ 上，时钟中心在矩形 $\mathit{ABCD}$ 对角线的交点 $O$ 上．若 $\mathit{AB}=30\mathit{cm}$ ，则 $\mathit{BC}$ 长为 　　 $\mathit{cm}$ （结果保留根号）．

如图所示，线段 $\mathit{BC}$ 为等腰 $\mathit{\Delta ABC}$ 的底边，矩形 $\mathit{ADBE}$ 的对角线 $\mathit{AB}$ 与 $\mathit{DE}$ 交于点 $O$ ，若 $\mathit{OD}=2$ ，则 $\mathit{AC}=$ 　　．

如图， $\mathit{DB}$ 是 $▱\mathit{ABCD}$ 的对角线．

（1）尺规作图（请用 $2B$ 铅笔）：作线段 $\mathit{BD}$ 的垂直平分线 $\mathit{EF}$ ，交 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{DB}$ ， $\mathit{DC}$ 分别于 $E$ ， $O$ ， $F$ ，连接 $\mathit{DE}$ ， $\mathit{BF}$ （保留作图痕迹，不写作法）．

（2）试判断四边形 $\mathit{DEBF}$ 的形状并说明理由．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$ 中， $E$ ， $F$ 是对角线 $\mathit{BD}$ 上的两点（点 $E$ 在点 $F$ 左侧），且 $\angle \mathit{AEB}=\angle \mathit{CFD}=90°$ ．

（1）求证：四边形 $\mathit{AECF}$ 是平行四边形；

（2）当 $\mathit{AB}=5$ ， $\tan \angle \mathit{ABE}=\frac{3}{4}$ ， $\angle \mathit{CBE}=\angle \mathit{EAF}$ 时，求 $\mathit{BD}$ 的长．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$ 是平行四边形， $\mathit{BE}//\mathit{DF}$ 且分别交对角线 $\mathit{AC}$ 于点 $E$ ， $F$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta CDF}$ ；

（2）当四边形 $\mathit{ABCD}$ 分别是矩形和菱形时，请分别说出四边形 $\mathit{BEDF}$ 的形状．（无需说明理由）

问题解决：如图1，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BC}$ 边上， $\mathit{DE}=\mathit{AF}$ ， $\mathit{DE}\perp \mathit{AF}$ 于点 $G$ ．

（1）求证：四边形 $\mathit{ABCD}$ 是正方形；

（2）延长 $\mathit{CB}$ 到点 $H$ ，使得 $\mathit{BH}=\mathit{AE}$ ，判断 $\mathit{\Delta AHF}$ 的形状，并说明理由．

类比迁移：如图2，在菱形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BC}$ 边上， $\mathit{DE}$ 与 $\mathit{AF}$ 相交于点 $G$ ， $\mathit{DE}=\mathit{AF}$ ， $\angle \mathit{AED}=60°$ ， $\mathit{AE}=6$ ， $\mathit{BF}=2$ ，求 $\mathit{DE}$ 的长．

在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $D$ 是边 $\mathit{BC}$ 上一动点，连接 $\mathit{AD}$ ，将 $\mathit{AD}$ 绕点 $A$ 逆时针旋转至 $\mathit{AE}$ 的位置，使得 $\angle \mathit{DAE}+\angle \mathit{BAC}=180°$ ．

（1）如图1，当 $\angle \mathit{BAC}=90°$ 时，连接 $\mathit{BE}$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $F$ ．若 $\mathit{BE}$ 平分 $\angle \mathit{ABC}$ ， $\mathit{BD}=2$ ，求 $\mathit{AF}$ 的长；

（2）如图2，连接 $\mathit{BE}$ ，取 $\mathit{BE}$ 的中点 $G$ ，连接 $\mathit{AG}$ ．猜想 $\mathit{AG}$ 与 $\mathit{CD}$ 存在的数量关系，并证明你的猜想；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接 $\mathit{DG}$ ， $\mathit{CE}$ ．若 $\angle \mathit{BAC}=120°$ ，当 $\mathit{BD}>\mathit{CD}$ ， $\angle \mathit{AEC}=150°$ 时，请直接写出 $\frac{\mathit{BD}-\mathit{DG}}{\mathit{CE}}$ 的值．

如图，边长为1的正方形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$为 $\mathit{AD}$的中点．连接 $\mathit{BE}$，将 $\mathit{\Delta ABE}$沿 $\mathit{BE}$折叠得到 $\mathit{\Delta FBE}$， $\mathit{BF}$交 $\mathit{AC}$于点 $G$，求 $\mathit{CG}$的长．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $E$是边 $\mathit{AB}$上一点， $\mathit{BE}=\mathit{BC}$， $\mathit{EF}\perp \mathit{CD}$，垂足为 $F$．将四边形 $\mathit{CBEF}$绕点 $C$顺时针旋转 $\alpha (0°<\alpha <90°)$，得到四边形 $C{B}^{\text{'}}{E}^{\text{'}}F\text{'}$， $B\text{'}E\text{'}$所在的直线分别交直线 $\mathit{BC}$于点 $G$，交直线 $\mathit{AD}$于点 $P$，交 $\mathit{CD}$于点 $K$． $E\text{'}F\text{'}$所在的直线分别交直线 $\mathit{BC}$于点 $H$，交直线 $\mathit{AD}$于点 $Q$，连接 $B\text{'}F\text{'}$交 $\mathit{CD}$于点 $O$．

（1）如图1，求证：四边形 $\mathit{BEFC}$是正方形；

（2）如图2，当点 $Q$和点 $D$重合时．

①求证： $\mathit{GC}=\mathit{DC}$；

②若 $\mathit{OK}=1$， $\mathit{CO}=2$，求线段 $\mathit{GP}$的长；

（3）如图3，若 $\mathit{BM}//F\text{'}B\text{'}$交 $\mathit{GP}$于点 $M$， $\tan \angle G=\frac{1}{2}$，求 $\frac{S_{\mathit{\Delta GMB}}}{S_{△\mathit{CF}\text{'}H}}$的值．

如图，已知点 $A$ ， $D$ ， $C$ ， $B$ 在同一条直线上， $\mathit{AD}=\mathit{BC}$ ， $\mathit{AE}=\mathit{BF}$ ， $\mathit{AE}//\mathit{BF}$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta AEC}\cong \mathit{\Delta BFD}$ ．

（2）判断四边形 $\mathit{DECF}$ 的形状，并证明．

如图， $▱\mathit{ABCD}$ 的对角线 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ， $\mathit{\Delta OAB}$ 是等边三角形， $\mathit{AB}=4$ ．

（1）求证： $▱\mathit{ABCD}$ 是矩形；

（2）求 $\mathit{AD}$ 的长．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中，点 $E$、 $F$分别在边 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BC}$上，且 $\angle \mathit{ABE}=\angle \mathit{CDF}$．

（1）探究四边形 $\mathit{BEDF}$的形状，并说明理由；

（2）连接 $\mathit{AC}$，分别交 $\mathit{BE}$、 $\mathit{DF}$于点 $G$、 $H$，连接 $\mathit{BD}$交 $\mathit{AC}$于点 $O$．若 $\frac{\mathit{AG}}{\mathit{OG}}=\frac{2}{3}$， $\mathit{AE}=4$，求 $\mathit{BC}$的长．