全国重点高中提前招生真题过关（八）

如图， $\odot O$的直径 $\mathit{AB}=8,\mathit{AM},\mathit{BN}$是它的两条切线， $\mathit{DE}$与 $\odot O$相切于点 $E$，并与 $\mathit{AM},\mathit{BN}$分别相交于 $D,C$两点， $\mathit{BD},\mathit{OC}$相交于点 $F$，若 $\mathit{CD}=10$，则 $\mathit{BF}$的长是（）

如图所示，三个半径为 $\sqrt{3}$的圆两两外切，且 $△\mathit{ABC}$的每一边都与其中两个圆相切，则 $△\mathit{ABC}$的周长是（）

若一直角三角形的斜边长为 $c$，内切圆半径是 $r$，则内切圆的面积与三角形面积之比是（）

如图， $\angle \mathit{ACB}={60}^{\circ }$，半径为 $2$的 $\odot O$切 $\mathit{BC}$于点 $C$，若 $\odot O$将在 $\mathit{CB}$上向右滚动，则当滚动到 $\odot O$与 $\mathit{CA}$也相切时，圆心 $O$移动的水平距离为（ ）

如图，已知一正三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍，当这个圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（ ）

如图， $\odot O$与正方形 $\mathit{ABCD}$的两边 $\mathit{AB},\mathit{AD}$相切，且 $\mathit{DE}$与 $\odot O$相切于 $E$点.若 $\odot O$的半径为 $5$，且 $\mathit{AB}=11$，则 $\mathit{DE}$的长度为（）

如图所示，在 $△\mathit{DEF}$中， $\mathit{EF}=10,\mathit{DF}=6,\mathit{DE}=8$，以 $\mathit{EF}$的中点 $O$为圆心，作半圆与 $\mathit{DE}$相切，点 $A,B$分别是半圆和边 $\mathit{DF}$上的动点，连接 $\mathit{AB}$，则 $\mathit{AB}$的最大值与最小值的和是（ ）

如图， $\odot O$的直径 $\mathit{AB}=2,\mathit{AM}$和 $\mathit{BN}$是它的两条切线， $\mathit{DE}$切 $\odot O$于点 $E$，交 $\mathit{AM}$于点 $D$，交 $\mathit{BN}$于点 $C$，则四边形 $\mathit{ABCD}$的面积 $S$的最小值为（）

如图， $△\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}={90}^{\circ },\text{sin}A=\frac{5}{13},\mathit{AC}=12$.将 $△\mathit{ABC}$绕点 $C$顺时针旋转 ${90}^{\circ }$得到 $△A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}C,P$为线段 $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}$上的动点，以点 $P$为圆心， $P{A}^{\text{'}}$长为半径作 $\odot P$，当 $\odot P$与 $△\mathit{ABC}$的边相切时， $\odot P$的半径为＿＿＿＿＿.

如图， $\odot O$的半径为 $3,\odot O$切 $\mathit{AC}$于点 $F$，交 $\mathit{BC}$于点 $D,\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$于点 $E,\mathit{CE}=1,\mathit{AB}=\mathit{AC}$，则 $\mathit{AO}=$＿＿＿＿＿.

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{AC}$是 $\odot O$的切线， $\mathit{BC}$交 $\odot O$于 $E$点，若 $\frac{\mathit{OA}}{\mathit{CE}}=\sqrt{5}$，则 $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{AB}}=$＿＿＿＿＿.

如图，直角坐标系中直线 $\mathit{AB}$交 $x$轴， $y$轴于点 $A\left(4,0\right)$与点 $B\left(0,-3\right)$，现有一半径为 $1$的动圆的圆心位于原点处，以每秒1个单位的速度向右作平移运动，则经过＿＿＿＿＿ $\text{s}$后动圆与直线 $\mathit{AB}$相切.

如图，一根圆柱形木棒的横截面圆的半径均为 $1$，则捆扎这 $7$根木棒一周的绳子长度为＿＿＿＿＿.

在 $△\mathit{ABC}$中，若 $O$为 $\mathit{BC}$边的中点，则必有: $A{B}^2+A{C}^2=2A{O}^2+2B{O}^2$成立.依据以上结论，解决如下问题:如图，在矩形 $\mathit{DEFG}$中，已知 $\mathit{DE}=4,\mathit{EF}=3$，点 $P$在以 $\mathit{DE}$为直径的半圆上运动，则 $P{F}^2+P{G}^2$的最小值为＿＿＿＿＿.

如图，△ $\mathit{ABC}$中， $\mathit{MN}//\mathit{BC}$交 $\mathit{AB}$ $\mathit{AC}$于 $M$， $N$， $\mathit{MN}$与△ $\mathit{ABC}$内切圆相切，若 $△\mathit{ABC}$周长为 $12$，设 $\mathit{BC}=x,\mathit{MN}=y$，则 $y$与 $x$的函数解析式为＿＿＿＿＿.（不要求写自变量 $x$的取值范围）.

一位小朋友在粗糙不打滑的“ $Z$”字形平面轨道上滚动一个半径为 $10\text{cm}$的圆盘，如图所示. $\mathit{AB}$与 $\mathit{CD}$是水平的， $\mathit{BC}$与水平面的夹角为 ${60}^{\circ }$，其中 $\mathit{AB}=60\text{cm},\mathit{CD}=40\text{cm},\mathit{BC}=40\text{cm}$，请你作出该小朋友将圆盘从 $A$点滚动到 $D$点其圆心所经过的路线的示意图，此路线的长度为＿＿＿＿＿.

如图， $A,B$是 $\odot O$上两点，且 $\mathit{AB}=\mathit{OA}$，连接 $\mathit{OB}$并延长到点 $C$，使 $\mathit{BC}=\mathit{OB}$，连接 $\mathit{AC}$.

（1）求证: $\mathit{AC}$是 $\odot O$的切线；

（2）点 $D,E$分别是 $\mathit{AC},\mathit{OA}$的中点， $\mathit{DE}$所在直线交 $\odot O$于点 $F,G,\mathit{OA}=4$，求 $\mathit{GF}$的长.

等腰直角 $△\mathit{ABC}$和 $\odot O$如图放置，已知 $\mathit{AB}=\mathit{BC}=1,\angle \mathit{ABC}={90}^{\circ },\odot O$的半径为 $1$，圆心 $O$与直线 $\mathit{AB}$的距离为5，现 $△\mathit{ABC}$以每秒2个单位的速度向右移动，同时 $△\mathit{ABC}$的边长 $\mathit{AB},\mathit{BC}$又以每秒 $0.5$个单位沿 $\mathit{BA},\mathit{BC}$方向增大.

（1）当 $△\mathit{ABC}$的边（ $\mathit{BC}$边除外）与圆第一次相切时，点 $B$移动了多少距离?

（2）若 $△\mathit{ABC}$在移动的同时， $\odot O$也以每秒 $1$个单位的速度向右移动，则 $△\mathit{ABC}$从开始移动，到它的边与圆最后一次相切，一共经过了多少时间?

（3）在（2）条件下，是否存在某一时刻， $△\mathit{ABC}$与 $\odot O$的公共部分等于 $\odot O$的面积?若存在，求出恰好符合条件时两个图形移动了多少时间?若不存在，请说明理由.

如图所示，已知 $△\mathit{ABC}$，以 $\mathit{BC}$为直径的圆交 $\mathit{AB},\mathit{AC}$于点 $D,E$，连接 $\mathit{OE},\mathit{OD},△\mathit{ADE}$的外接圆是 $G$，求证: $\mathit{OD},\mathit{OE}$都是 $\odot G$的切线.

如图所示， $△\mathit{ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，过点 $B$作 $△\mathit{ABC}$的外接圆的切线交 $\mathit{AC}$的延长线于点 $D$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$交 $\mathit{AB}$的延长线于点 $E$，求证: $\mathit{CD}=2\mathit{BE}$.

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $C$是弧 $\mathit{AB}$的中点，延长 $\mathit{AC}$至 $D$，使 $\mathit{CD}=\mathit{AC}$，连接 $\mathit{DB}.E$是 $\mathit{OB}$的中点， $\mathit{CE}$的延长线交 $\mathit{DB}$的延长线于点 $F,\mathit{AF}$交 $\odot O$于点 $H$，连接 $\mathit{BH}$.

（1）求证: $\mathit{BD}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{BF}=1$，求 $\mathit{BH}$的长.

如图， $\mathit{AB}$是半圆的直径，弦 $\mathit{CD}//\mathit{AB}$，过点 $B$的切线交 $\mathit{AD}$的延长线于点 $E,\mathit{EF}\perp \mathit{AC}$交 $\mathit{AC}$的延长线于点 $F$.求证: $\mathit{AC}=\mathit{CF}$.

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，过点 $B$作 $\odot O$的切线 $\mathit{BM}$，点 $P$在右半圆上移动（点 $P$与点 $A,B$不重合），过点 $P$作 $\mathit{PC}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $C$.点 $Q$在射线 $\mathit{BM}$上移动（点 $M$在点 $B$的右边），且在移动过程中保持 $\mathit{OQ}//\mathit{AP}$.

（1）若 $\mathit{PC},\mathit{QO}$的延长线相交于点 $E$，判断是否存在点 $P$，使得点 $E$恰好在 $\odot O$上?若存在，求出 $\angle \mathit{APC}$的大小；若不存在，请说明理由；

（2）连接 $\mathit{AQ}$交 $\mathit{PC}$于点 $F$，设 $k=\frac{\mathit{PF}}{\mathit{PC}}$，试问: $k$的值是否随点 $P$的移动而变化?证明你的结论.