2013年全国统一高考理科数学试卷（上海卷）

计算： $\underset{n\to \infty }{lim}\frac{n+20}{3n+13}=$.

设 $m\in R$， $m^2+m-2+\left(m^2-1\right)i$是纯虚数，其中 $i$是虚数单位，则 $m=$.

若 $\left|\begin{array}{cc}{x}^2& y^2\\ -1& 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}y& x\\ y& -y\end{array}\right|$，则 $x+y=$.

已知 $∆ABC$的内角 $A、B、C$所对应边分别为 $a、b、c$,若 $3a^2+2ab+3b^2-3c^2=0$,则角C的大小是(结果用反三角函数值表示).

设常数 $a\in R$，若 ${\left(x^2+{\frac{a}{x}}^{}\right)}^5$的二项展开式中 $x^7$项的系数为 $-10$，则 $a=$

方程 $\frac{3}{3^x-1}+\frac{1}{3}=3^{x-1}$的实数解为

在极坐标系中，曲线 $p=\cos \theta +1$与 $p\cos \theta =1$的公共点到极点的距离为.

盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）

设 $AB$是椭圆 $O$的长轴，点 $C$在 $O$上，且 $\angle CBA=\frac{\pi }{4}$，若 $AB=4$， $BC=\sqrt{2}$，则 $O$的两个焦点之间的距离为

设非零常数 $d$是等差数列 $x_1,x_2,x_3,...,x_{19}$的公差，随机变量 $\xi$等可能地取值 $x_1,x_2,x_3,...,x_{19}$，则方差 $D\xi =$.

若 $\cos x\cos y+\sin x\sin y=\frac{1}{2},\sin 2x+\sin 2y=\frac{2}{3}$，则 $\sin (x+y)=$.

设 $a$为实常数， $y=f\left(x\right)$是定义在 $R$上的奇函数，当 $x<0$时， $f\left(x\right)=9x+\frac{a^2}{x}+7$，若 $f\left(x\right)\ge a+1$对一切 $x\ge 0$成立，则 $a$的取值范围为.

在 $xOy$平面上，将两个半圆弧 $(x-1{)}^2+y^2=1(x\ge 1)$和 $(x-3{)}^2+y^2=1(x\ge 3)$、两条直线 $y=1$和 $y=-1$围成的封闭图形记为 $D$，如图中阴影部分．记 $D$绕 $y$轴旋转一周而成的几何体为Ω，过 $(0,y)(\left|y\right|\le 1)$作Ω的水平截面，所得截面面积为 $4\pi \sqrt{1-y^2}+8\pi$，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为.

对区间 $I$上有定义的函数 $g\left(x\right)$，记 $g\left(I\right)=\left\{y|y=g\left(x\right),x\in I\right\}$，已知定义域为 $\left[0,3\right]$的函数 $y=f\left(x\right)$有反函数 $y=f^{-1}\left(x\right)$，且 $f^{-1}\left([0,1)\right)=[1,2),f^{-1}\left((2,4]\right)=[0,1)$，若方程 $f\left(x\right)-x=0$有解 $x_0$，则 $x_0=$

设常数 $a\in R$，集合 $A=\left\{\overline{)x}\left(x-1\right)\left(x-a\right)\ge 0\right\},B=\left\{\overline{)x}x\ge a-1\right\}$，若 $A\cup B=R$，则 $a$的取值范围为（）

钱大姐常说"便宜没好货",她这句话的意思是:"不便宜"是"好货"的（）

在数列 $\left\{a_n\right\}$中， $a_n=2^n-1$，若一个 $7$行 $12$列的矩阵的第 $i$行第 $j$列的元素 $a_{i,j}=a_i·a_j+a_i+a_j$，（ $i=1,2,\dots ,7;j=1,2,\dots ,12$）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（）

在边长为1的正六边形 $ABCDEF$中，记以 $A$为起点，其余顶点为终点的向量分别为 $\stackrel{\rightharpoonup }{a_1},\stackrel{\rightharpoonup }{a_2},\stackrel{\rightharpoonup }{a_3},\stackrel{\rightharpoonup }{a_4},\stackrel{\rightharpoonup }{a_5}$；以 $D$为起点，其余顶点为终点的向量分别为 $\stackrel{\rightharpoonup }{d_1},\stackrel{\rightharpoonup }{d_2},\stackrel{\rightharpoonup }{d_3},\stackrel{\rightharpoonup }{d_4},\stackrel{\rightharpoonup }{d_5}$.若 $m,M$分别为 $\left(\stackrel{\rightharpoonup }{a_i}+\stackrel{\rightharpoonup }{a_j}+\stackrel{\rightharpoonup }{a_k}\right)·\left(\stackrel{\rightharpoonup }{d_r}+\stackrel{\rightharpoonup }{d_s}+\stackrel{\rightharpoonup }{d_t}\right)$的最小值、最大值，其中 $\left\{i,j,k\right\}\subseteq \left\{1,2,3,4,5\right\},\left\{r,s,t\right\}\subseteq \left\{1,2,3,4,5\right\}$,则 $m,M$满足（）

如图，在长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$中， $AB=2$, $AD=1$, $A_{1}A=1$，证明直线 $B{C}_1$平行于平面 $D{A}_{1}C$，并求直线 $B{C}_1$到平面 $D_{1}AC$的距离.

甲厂以 $x$千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求 $1\le x\le 10$），每小时可获得利润是 $100(5x+1-\frac{3}{x})$元.
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求 $x$的取值范围；
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.

已知函数 $f\left(x\right)=2\sin \left(\omega x\right)$，其中常数 $\omega >0$；
（1）若 $y=f\left(x\right)$在 $\left[-\frac{\pi }{4},\frac{2\pi }{3}\right]$上单调递增，求 $\omega$的取值范围；
（2）令 $\omega =2$，将函数 $y=f\left(x\right)$的图像向左平移 $\frac{\pi }{6}$个单位，再向上平移1个单位，得到函数 $y=g\left(x\right)$的图像，区间 $\left[a,b\right]$（ $a,b\in R$且 $a<b$）满足： $y=g\left(x\right)$在 $\left[a,b\right]$上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的 $\left[a,b\right]$中，求 $b-a$的最小值．

如图，已知曲线 $C_2:\frac{x^2}{2}-y^2=1$，曲线 $C_2:\left|y\right|=\left|x+1\right|$， $P$是平面上一点，若存在过点 $P$的直线与 $C_1,C_2$都有公共点，则称 $P$为" $C_1-C_2$型点"．

(1)在正确证明 $C_1$的左焦点是" $C_1-C_2$型点"时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；
(2)设直线 $y=kx$与 $C_2$有公共点，求证 $\left|k\right|>1$，进而证明原点不是" $C_1-C_2$型点"；
(3)求证：圆 $x^2+y^2=\frac{1}{2}$内的点都不是" $C_1-C_2$型点"．

给定常数 $c>0$,定义函数 $f\left(x\right)=2\left|x+c+4\right|-\left|x+c\right|$,数列 $a_1,a_2,a_3,\cdots$满足 $a_{n+1}=f\left(a_n\right),n\in N^{*}$.
（1）若 $a_1=-c-2$,求 $a_2$及 $a_3$；
（2）求证:对任意 $n\in N^{*},a_{n+1}-a_n\ge c$；
（3）是否存在 $a_1$,使得 $a_1,a_2,\cdots ,a_n,\cdots$成等差数列？若存在,求出所有这样的 $a_1$,若不存在,说明理由.