2010年全国统一高考理科数学试卷（江西卷）

已知 $\left(x+i\right)\left(1-i\right)=y$ ，则实数 $x,y$ 分别为（  ）

若集合 $A=\left\{\overline{)x}\left|x\right|\le 1,x\in R\right\},B=\left\{\overline{)y}y=x^2,x\in R\right\}$,则 $A\cap B=$（）

不等式$\left|\frac{x-2}{x}\right|>\frac{x-2}{x}$的解集是（）

$\underset{n\to \infty }{lim}(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^n})=$(    )

等比数列$\left\{a_n\right\}$中，$a_1=2,a_8=4$，函数$f\left(x\right)=x(x-a_1)(x-a_2)......(x-a_n)$，则$f`\left(0\right)=$

${\left(2-\sqrt{x}\right)}^3$展开式中不含 $x^4$项的系数的和为（   ）

$E,F$ 是等腰直角 $∆ABC$ 斜边 $AB$ 上的三等分点，则 $\tan \angle ECF=$ （  ）

直线$y=kx+3$与圆${\left(x-3\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=4$相交于$M,N$两点，若$\left|MN\right|⩾2\sqrt{3}$，则$k$的取值范围是（）

给出下列三个命题：
①函数 $y=\frac{1}{2}\ln \frac{1-\cos x}{1+\cos x}$ 与 $y=\mathrm{lnt}an\frac{x}{2}$ 是同一函数；
②若函数 $y=f\left(x\right)$ 与 $y=g\left(x\right)$ 的图像关于直线 $y=x$ 对称，则函数 $y=f\left(2x\right)$ 与 $y=\frac{1}{2}g\left(x\right)$ 的图像也关于直线 $y=x$ 对称；

③若奇函数 $f\left(x\right)$ 对定义域内任意 $x$ 都有 $f\left(x\right)=f\left(2-x\right)$ ,则 $f\left(x\right)$ 为周期函数．
其中真命题是（  ）

过正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的顶点 $A$ 作直线 $l$ ，使 $l$ 与棱 $AB,AD,A{A}_1$ 所成的角都相等，这样的直线 $l$ 可以作（  ）

一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测.方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚.国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为 $p_1$和 $p_2$.则（   ）.

如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记 $t$ 时刻五角星露出水面部分的图形面积为 $S\left(t\right)\left(S\left(0\right)=0\right)$ ，则导函数 $y=S`\left(t\right)$ 的图像大致为（  ）

已知向量$\stackrel{\rightharpoonup }{a},\stackrel{\rightharpoonup }{b}$满足$\left|\stackrel{\rightharpoonup }{a}\right|=1,\left|\stackrel{\rightharpoonup }{b}\right|=2,\stackrel{\rightharpoonup }{a}$与$\stackrel{\rightharpoonup }{b}$的夹角为${60}^{°}$，则$\left|\stackrel{\rightharpoonup }{a}-\stackrel{\rightharpoonup }{b}\right|=$.

将6位志愿者分成4组,其中两个组各2人,另两个组各1人,分赴世博会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有   种(用数字作答).

点$A(x_0,y_0)$在双曲线$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{32}=1$的右支上，若点$A$到右焦点的距离等于$2x_0$，则$x_0=$.

如图，在三棱锥 $O-ABC$ 中，三条棱 $OA$ ， $OB$ ， $OC$ 两两垂直，且 $OA>OB>OC$ ，分别经过三条棱 $OA$ ， $OB$ ， $OC$ 作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为 $S_1,S_2,S_3,$ 则 $S_1,S_2,S_3,$ 的大小关系为   ．

已知函数$f\left(x\right)=\left(1+cotx\right){\sin }^{2}x+m\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$．
（1）当$m=0$时，求$f\left(x\right)$在区间$\left[\frac{\pi }{8}.\frac{3\pi }{4}\right]$上的取值范围；
（2）当$\tan \alpha =2$时，$f\left(\alpha \right)=\frac{3}{5}$，求$m$的值．

某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一个智能门，首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令 $\xi$表示走出迷宫所需的时间．
(1)求 $\xi$的分布列；
(2)求 $\xi$的数学期望．

设函数 $f\left(x\right)=\ln x+\ln (2-x)+ax,(a>0)$．
（1）当 $a=1$时，求 $f\left(x\right)$的单调区间；
（2）若 $f\left(x\right)$在 $(0,1]$上的最大值为 $\frac{1}{2}$，求 $a$的值．

如图， $△BCD$与 $△MCD$都是边长为2的正三角形，
平面 $MCD\perp$平面 $BCD$， $AB\perp$平面 $BCD$， $AB=2\sqrt{3}$.
（1）求点 $A$到平面 $MBC$的距离；
（2）求平面 $ACM$与平面 $BCD$所成二面角的正弦值.

设椭圆 $C_1$ ： $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ ，抛物线 $C_2$ ： $x^2+by=b^2$ .

(1) 若 $C_2$ 经过 $C_1$ 的两个焦点，求 $C_1$ 的离心率；
(2) 设 $A(0,b),Q(3\sqrt{3},\frac{5}{4}b)$ ，又 $M,N$ 为 $C_1$ 与 $C_2$ 不在 $y$ 轴上的两个交点，若 $△AMN$ 的垂心为 $B(0,\frac{3}{4}b)$ ，且 $△QMN$ 的重心在 $C_2$ 上，求椭圆 $C_1$ 和抛物线 $C_2$ 的方程．

证明以下命题：
（1）对任一正整数 $a$，都存在正整数 $b,c(b<c)$，使得 $a^2,b^2,c^2$成等差数列；
（2）存在无穷多个互不相似的三角形 ${△}_n$,其边长 $a_n,b_n,c_n$为正整数且 ${a_n}^2,{b_n}^2,{c_n}^2$成等差数列.