2012年全国统一高考数学试卷（江苏卷）

已知集合 $A=\{1,2,4\},B=\{2,4,6\}$，则 $A\cup B=$．

某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 $3:3:4$，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取名学生．

设 $a,b\in \mathit{R}\mathbf{,}a+bi=\frac{11-7i}{1-2i}$( $i$为虚数单位),则 $a+b$的值为．

下图是一个算法流程图，则输出的 $k$的值是．

函数 $f\left(x\right)=\sqrt{1-2{\log }_{6}x}$的定义域为．

现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是．

如图，在长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$中， $AB=AD=3cm,A{A}_1=2cm$，则四棱锥 $A-B{B}_1{D}_{1}D$的体积为 $c{m}^3$．

在平面直角坐标系 $xOy$中，若双曲线 $\frac{x^2}{m}-\frac{y^2}{m^2+4}=1$的离心率为 $\sqrt{5}$，则 $m$的值为．

如图，在矩形 $ABCD$中， $AB=\sqrt{2},BC=2$点 $E$为 $BC$的中点，点 $F$在边 $CD$上，若 $\stackrel{\rightharpoonup }{AB·}\stackrel{\rightharpoonup }{BF}=\sqrt{2}$, $\stackrel{\rightharpoonup }{AE·}\stackrel{\rightharpoonup }{BF}$的值是  ．

设 $f\left(x\right)$是定义在 $R$上且周期为2的函数，在区间 $[-1,1]$上， $f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}ax+1,-1\le x<0\\ \frac{bx+2}{x+1},0\le x\le 1\end{array}\end{array}$其中 $a,b\in R$．若 $f\left(\frac{1}{2}\right)=f\left(\frac{3}{2}\right)$，则 $a+3b$的值为．

设 $\alpha$为锐角，若 $\cos (\alpha +\frac{\pi }{6})=\frac{4}{5}$，则 $\sin (2\alpha +\frac{\pi }{12})$的值为．

在平面直角坐标系 $xOy$中，圆 $C$的方程为 $x^2+y^2-8x+15=0$，若直线 $y=kx-2$上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆 $C$有公共点，则 $k$的最大值是.

已知函数 $f\left(x\right)=x^2+ax+b(a,b\in R)$的值域为 $[0,+\infty )$，若关于 $x$的不等式 $f\left(x\right)<c$的解集为 $\left(m,m+6\right)$，则实数 $c$的值为．

已知正数 $a,b,c$满足： $5c-3a\le 4c-a,c\ln b\ge a+c\ln c$则 $\frac{b}{a}$的取值范围是．

在 $∆ABC$中,已知 $\stackrel{\rightharpoonup }{AB}·\stackrel{\rightharpoonup }{AC}=3\stackrel{\rightharpoonup }{BA}·\stackrel{\rightharpoonup }{BC}$．
（1）求证: $\tan B=3\tan A$；
（2）若 $\cos C=\frac{\sqrt{5}}{5}$,求 $A$的值．

如图，在直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$中， $A_1{B}_1=A_1{C}_1$， $D,E$分别是棱 $BC,C{C}_1$上的点（点 $D$不同于点 $C$），且 $AD\perp DE,F$为 $B_1{C}_1$的中点．

求证：（1）平面平面；
（2）直线 $A_{1}F//$平面 $ADE$．

如图，建立平面直角坐标系 $xoy$， $x$轴在地平面上， $y$轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程 $y=kx-\frac{1}{20}\left(1+k^2\right)x^2\left(k>0\right)$表示的曲线上，其中与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．

（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标 $a$不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．

若函数 $y=f\left(x\right)$在 $x=x_0$处取得极大值或极小值，则称 $x_0$为函数 $y=f\left(x\right)$的极值点.已知 $a,b$是实数，1和-1是函数 $f\left(x\right)=x^3+a{x}^2+bx$的两个极值点．
（1）求 $a$和 $b$的值；
（2）设函数 $g\left(x\right)$的导函数 $g`\left(x\right)=f\left(x\right)+2$，求 $g\left(x\right)$的极值点；
（3）设 $h\left(x\right)=f\left(f\right(x\left)\right)-c$，其中 $c\in [-2,2]$，求函数 $y=h\left(x\right)$的零点个数．

如图，在平面直角坐标系 $xOy$中，椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左、右焦点分别为 $F_1(-c,0),F_2(c,0)$．已知 $(1,e)$和 $(e,\frac{\sqrt{3}}{2})$都在椭圆上，其中 $e$为椭圆的离心率．

（1）求椭圆的方程；
（2）设 $A,B$是椭圆上位于 $x$轴上方的两点，且直线 $A{F}_1$与直线 $B{F}_2$平行， $A{F}_2$与 $B{F}_1$交于点 $P$．
（i）若 $A{F}_1=B{F}_2=\frac{\sqrt{6}}{2}$，求直线 $A{F}_1$的斜率；
（ii）求证： $P{F}_1+P{F}_2$是定值．

已知各项均为正数的两个数列 $\left\{a_n\right\}$和 $\left\{b_n\right\}$满足： $a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{\sqrt{{a_n}^2+{b_n}^2}},n\in N^{*}$，
（1）设 $b_{n+1}=1+\frac{b_n}{a_n},n\in N^{*}$，求证：数列 $\left\{\right(\frac{b_n}{a_n}{)}^2\}$是等差数列；

（2）设 $b_{n+1}=\sqrt{2}·\frac{b_n}{a_n},n\in N^{*}$，且 $\left\{a_n\right\}$是等比数列，求 $a_1$和 $b_1$的值．

如图， $AB$是圆 $O$的直径， $D,E$为圆上位于 $AB$异侧的两点，连结 $BD$并延长至点 $C$，使 $BD=DC$，连结 $AC,AE,DE$．
求证： $\angle E=\angle C$．

已知矩阵 $A$的逆矩阵 $A^{-1}=\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{4}\\ \frac{1}{2}\end{array}\begin{array}{c}\frac{3}{4}\\ -\frac{1}{2}\end{array}\right]$，求矩阵 $A$的特征值．

在极坐标中，已知圆 $C$经过点 $P(\sqrt{2},\frac{\pi }{4})$，圆心为直线 $\rho \sin (\theta -\frac{\pi }{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$与极轴的交点，求圆 $C$的极坐标方程．

已知实数 $x,y$满足： $\left|x+y\right|<\frac{1}{3},\left|2x-y\right|<\frac{1}{6}$，

求证： $\left|y\right|<\frac{5}{16}$．

设 $\zeta$为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时， $\zeta =0$；当两条棱平行时， $\zeta$的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时， $\zeta =1$．
（1）求概率 $P(\zeta =0)$；
（2）求 $\zeta$的分布列，并求其数学期望

设集合 $P_n=\{1,2,...,n\},n\in N^{*}$．记 $f\left(n\right)$为同时满足下列条件的集合 $A$的个数：
① $A\underline{\subset }{P}_n$；②若 $x\in A$，则 $2x\notin A$；③若 $x\in C_{P_x}A$，则 $2x\notin C_{P_x}A$.
（1）求 $f\left(4\right)$；
（2）求 $f\left(n\right)$的解析式（用 $n$表示）．