2021年湖南省衡阳市中考数学试卷（含答案与解析）

2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利．现标准下，98990000农村贫困人口全部脱贫．数98990000用科学记数法表示为 $($ 　　 $)$

在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是 $($ 　　 $)$

下列运算结果为 $a^6$ 的是 $($ 　　 $)$

下列计算正确的是 $($ 　　 $)$

为了向建党一百周年献礼，我市中小学生开展了红色经典故事演讲比赛．某参赛小组6名同学的成绩（单位：分）分别为：85，82，86，82，83，92．关于这组数据，下列说法错误的是 $($ 　　 $)$

如图是由6个相同的正方体堆成的物体，它的左视图是 $($ 　　 $)$

如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯 $\mathit{AB}$ 的倾斜角为 $37°$ ，大厅两层之间的距离 $\mathit{BC}$ 为6米，则自动扶梯 $\mathit{AB}$ 的长约为 $(\sin 37°\approx 0.6$ ， $\cos 37°\approx 0.8$ ， $\tan 37°\approx 0.75\left)\right($ 　　 $)$

下列命题是真命题的是 $($ 　　 $)$

不等式组 $\left\{\begin{array}{c}x+1<0\\ -2x⩽6\end{array}\right.$ 的解集在数轴上可表示为 $($ 　　 $)$

下列说法正确的是 $($ 　　 $)$

如图，矩形纸片 $\mathit{ABCD}$ ， $\mathit{AB}=4$ ， $\mathit{BC}=8$ ，点 $M$ 、 $N$ 分别在矩形的边 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{BC}$ 上，将矩形纸片沿直线 $\mathit{MN}$ 折叠，使点 $C$ 落在矩形的边 $\mathit{AD}$ 上，记为点 $P$ ，点 $D$ 落在 $G$ 处，连接 $\mathit{PC}$ ，交 $\mathit{MN}$ 于点 $Q$ ，连接 $\mathit{CM}$ ．下列结论：①四边形 $\mathit{CMPN}$ 是菱形；②点 $P$ 与点 $A$ 重合时， $\mathit{MN}=5$ ；③ $\mathit{\Delta PQM}$ 的面积 $S$ 的取值范围是 $4⩽S⩽5$ ．其中所有正确结论的序号是 $($ 　　 $)$

若二次根式 $\sqrt{x-3}$有意义，则 $x$的取值范围是 　　．

计算： $\frac{a-1}{a}+\frac{1}{a}=$　　．

因式分解： $3a^2-9\mathit{ab}=$　　．

底面半径为3，母线长为4的圆锥的侧面积为 　　．（结果保留 $\pi )$

“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木6000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了 $25\%$，结果提前3天完成任务．则实际每天植树　　棵．

如图1，菱形 $\mathit{ABCD}$ 的对角线 $\mathit{AC}$ 与 $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ， $P$ 、 $Q$ 两点同时从 $O$ 点出发，以1厘米 $/$ 秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点 $P$ 的运动路线为 $O-A-D-O$ ，点 $Q$ 的运动路线为 $O-C-B-O$ ．设运动的时间为 $x$ 秒， $P$ 、 $Q$ 间的距离为 $y$ 厘米， $y$ 与 $x$ 的函数关系的图象大致如图2所示，当点 $P$ 在 $A-D$ 段上运动且 $P$ 、 $Q$ 两点间的距离最短时， $P$ 、 $Q$ 两点的运动路程之和为 　　厘米．

计算： ${(x+2y)}^2+(x-2y)(x+2y)+x(x-4y)$．

如图，点 $A$ 、 $B$ 、 $D$ 、 $E$ 在同一条直线上， $\mathit{AB}=\mathit{DE}$ ， $\mathit{AC}//\mathit{DF}$ ， $\mathit{BC}//\mathit{EF}$ ．求证： $\mathit{\Delta ABC}\cong \mathit{\Delta DEF}$ ．

"垃圾分类工作就是新时尚"，为了改善生态环境，有效利用垃圾剩余价值，2020年起，我市将生活垃圾分为四类：厨余垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾．某学习研究小组在对我市垃圾分类实施情况的调查中，绘制了生活垃圾分类扇形统计图，如图所示．

（1）图中其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是 　　度；

（2）据统计，生活垃圾中可回收物每吨可创造经济总价值约为0.2万元．若我市某天生活垃圾清运总量为500吨，请估计该天可回收物所创造的经济总价值是多少万元？

（3）为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，某校开展了相关知识竞赛，要求每班派2名学生参赛．甲班经选拔后，决定从2名男生和2名女生中随机抽取2名学生参加比赛，求所抽取的学生中恰好一男一女的概率．

如图，点 $E$ 为正方形 $\mathit{ABCD}$ 外一点， $\angle \mathit{AEB}=90°$ ，将 $\text{Rt}\Delta \text{ABE}$ 绕 $A$ 点逆时针方向旋转 $90°$ 得到 $\mathit{\Delta ADF}$ ， $\mathit{DF}$ 的延长线交 $\mathit{BE}$ 于 $H$ 点．

（1）试判定四边形 $\mathit{AFHE}$ 的形状，并说明理由；

（2）已知 $\mathit{BH}=7$ ， $\mathit{BC}=13$ ，求 $\mathit{DH}$ 的长．

如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为 $\mathit{xcm}$，单层部分的长度为 $\mathit{ycm}$．经测量，得到表中数据．

（1）根据表中数据规律，求出 $y$与 $x$的函数关系式；

（2）按小文的身高和习惯，背带的长度调为 $130\mathit{cm}$时为最佳背带长．请计算此时双层部分的长度；

（3）设背带长度为 $\mathit{Lcm}$，求 $L$的取值范围．

如图， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径， $D$ 为 $\odot O$ 上一点， $E$ 为 $\stackrel{̂}{\mathit{BD}}$ 的中点，点 $C$ 在 $\mathit{BA}$ 的延长线上，且 $\angle \mathit{CDA}=\angle B$ ．

（1）求证： $\mathit{CD}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{DE}=2$ ， $\angle \mathit{BDE}=30°$ ，求 $\mathit{CD}$ 的长．

如图， $\mathit{\Delta OAB}$ 的顶点坐标分别为 $O(0,0)$ ， $A(3,4)$ ， $B(6,0)$ ，动点 $P$ 、 $Q$ 同时从点 $O$ 出发，分别沿 $x$ 轴正方向和 $y$ 轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点 $P$ 到达点 $B$ 时点 $P$ 、 $Q$ 同时停止运动．过点 $Q$ 作 $\mathit{MN}//\mathit{OB}$ 分别交 $\mathit{AO}$ 、 $\mathit{AB}$ 于点 $M$ 、 $N$ ，连接 $\mathit{PM}$ 、 $\mathit{PN}$ ．设运动时间为 $t$ （秒 $)$ ．

（1）求点 $M$ 的坐标（用含 $t$ 的式子表示）；

（2）求四边形 $\mathit{MNBP}$ 面积的最大值或最小值；

（3）是否存在这样的直线 $l$ ，总能平分四边形 $\mathit{MNBP}$ 的面积？如果存在，请求出直线 $l$ 的解析式；如果不存在，请说明理由；

（4）连接 $\mathit{AP}$ ，当 $\angle \mathit{OAP}=\angle \mathit{BPN}$ 时，求点 $N$ 到 $\mathit{OA}$ 的距离．

在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为"雁点"．例如 $(1,1)$ ， $(2021,2021)\dots$ 都是"雁点"．

（1）求函数 $y=\frac{4}{x}$ 图象上的"雁点"坐标；

（2）若抛物线 $y=a{x}^2+5x+c$ 上有且只有一个"雁点" $E$ ，该抛物线与 $x$ 轴交于 $M$ 、 $N$ 两点（点 $M$ 在点 $N$ 的左侧）．当 $a>1$ 时．

①求 $c$ 的取值范围；

②求 $\angle \mathit{EMN}$ 的度数；

（3）如图，抛物线 $y=-x^2+2x+3$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧）， $P$ 是抛物线 $y=-x^2+2x+3$ 上一点，连接 $\mathit{BP}$ ，以点 $P$ 为直角顶点，构造等腰 $\text{Rt}\Delta \text{BPC}$ ，是否存在点 $P$ ，使点 $C$ 恰好为"雁点"？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．