2015年全国统一高考数学试卷（江苏卷）

已知集合 $A=\{1,2,3\}$， $B=\{2,4,5\}$，则集合 $A\cup B$中元素的个数为.

已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为.

设复数 $z$满足 $z^2=3+4i$（ $i$是虚数单位），则 $z$的模为.

根据如图所示的伪代码,可知输出的结果S为.

袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为.

已知向量 $a=(2,1)$, $b=(1,-2)$, 若 $ma+nb=\left(9,-8\right)(m,n\in R)$, 则 $m-n$的值为.

不等式 $2^{x^2-x}<4$的解集为.

已知 $\tan \alpha =-2,\tan (\alpha +\beta )=\frac{1}{7}$，则 $\tan \beta$的值为.

现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为

在平面直角坐标系 $xOy$中，以点 $\left(1,0\right)$为圆心且与直线 $mx-y-2m-1=0\left(m\in R\right)$相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.

数列 $\left\{a_n\right\}$满足 $a_1=1$，且 $a_{n-1}-a_n=n+1(n\in N^{*})$，则数列 $\left\{\frac{1}{a_n}\right\}$的前10项和为.

在平面直角坐标系 $xOy$中， $P$为双曲线 $x^2-y^2=1$右支上的一个动点。若点 $P$到直线 $x-y+1=0$的距离大于 $c$恒成立，则是实数 $c$的最大值为

已知函数 $f\left(x\right)=\left|\ln x\right|$， $g\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}0,0\le x\le 1\\ \left|x^2-4\right|-2,x>1\end{array}\right.$，则方程 $\left|f\left(x\right)+g\left(x\right)\right|=1$实根的个数为

设向量 $a_k=(\cos \frac{k\pi }{6},\sin \frac{k\pi }{6}+\cos \frac{k\pi }{6})(k=0,1,2,...,12)$，则 $\underset{k=0}{\overset{11}{\sum }}(a_k·a_{k+1})$的值为.

在 $△ABC$中，已知 $AB=2,AC=3,A={60}^{°}$.
（1）求 $BC$的长；
（2）求 $\sin 2C$的值.

如图,在直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$中,已知 $AC\perp BC,BC=C{C}_1$,设 $A{B}_1$的中点为 $D$, $B_{1}C\cap B{C}_1=E$.

求证:

（1） $DE\parallel$平面 $A{A}_1{C}_{1}C$

（2） $B{C}_1\perp A{B}_1$.

某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为 $l_1,l_2$，山区边界曲线为 $C$，计划修建的公路为l，如图所示， $M$， $N$为 $C$的两个端点，测得点 $M$到 $l_1,l_2$的距离分别为5千米和40千米，点 $N$到 $l_{1,}{l}_2$的距离分别为20千米和2.5千米，以 $l_1,l_2$所在的直线分别为 $x$， $y$轴，建立平面直角坐标系 $xoy$，假设曲线 $C$符合函数 $y=\frac{a}{x^2+b}$（其中 $a$， $b$为常数）模型.

（1）求 $a$， $b$的值；
（2）设公路l与曲线 $C$相切于 $P$点， $P$的横坐标为 $t$.
①请写出公路l长度的函数解析式 $f\left(t\right)$，并写出其定义域；
②当 $t$为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.

如图，在平面直角坐标系 $xOy$中，已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，且右焦点 $F$到左准线l的距离为3.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）过 $F$的直线与椭圆交于 $A,B$两点，线段 $AB$的垂直平分线分别交直线 $l$和 $AB$于点 $P,C$，若 $PC=2AB$，求直线 $AB$的方程.

已知函数 $f\left(x\right)=x^3+a{x}^2+b(a,b\in R)$.
（1）试讨论 $f\left(x\right)$的单调性；
（2）若 $b=c-a$（实数 $c$是 $a$与无关的常数），当函数 $f\left(x\right)$有三个不同的零点时， $a$的取值范围恰好是 $(-\infty ,-3)\cup (1,\frac{3}{2})\cup (\frac{3}{2},+\infty )$，求 $c$的值.

设 $a_1,a_2,a_3,a_4$是各项为正数且公差为d $(d\ne 0)$的等差数列
（1）证明： $2^{a_1},2^{a_2},2^{a_3},2^{a_4}$依次成等比数列；
（2）是否存在 $a_1,d$，使得 $a_1,{a_2}^2,{a_3}^3,{a_4}^4$依次成等比数列，并说明理由；
（3）是否存在 $a_1,d$及正整数，使得 ${a_1}^n,{a_2}^{n+k},a_{3}n+2k,{a_4}^{n+3k}$依次成等比数列，并说明理由.

如图，在 $△ABC$中， $AB=AC$， $△ABC$的外接圆圆 $O$的弦 $AE$交 $BC$于点D.

求证： $△ABD$ $~$ $△AEB$.

已知 $x,y\in R$,向量 $\alpha =\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]$是矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}x& 1\\ y& 0\end{array}\right]$的属性特征值 $-2$的一个特征向量,求矩阵 $A$以及它的另一个特征值.

已知圆 $C$的极坐标方程为 ${\rho }^2+2\sqrt{2}\rho \sin \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)-4=0$，求圆 $C$的半径.

解不等式 $x+\left|2x+3\right|\ge 3$.

如图，在四棱锥 $P-ABCD$中，已知 $PA\perp$平面 $ABCD$，且四边形 $ABCD$为直角梯形， $\angle ABC=\angle BAD=\frac{\pi }{2}$, $PA=AD=2,AB=BC=1$

（1）求平面 $PAB$与平面 $PCD$所成二面角的余弦值；
（2）点 $Q$是线段 $BP$上的动点，当直线 $CQ$与 $DP$所成角最小时，求线段 $BQ$的长

已知集合 $X=\left\{1,2,3\right\},Y_n=\left\{1,2,3,\cdots ,n\right\}\left(n\in N^{*}\right)$， $S_n=\left\{\overline{)\left(a,b\right)}a\mathrm{整除}b或b\mathrm{整除}a,a\in X,b\in Y_n\right\}$,令 $f\left(n\right)$表示集合 $S_n$所含元素的个数.
（1）写出 $f\left(6\right)$的值；
（2）当 $n\ge 6$时，写出 $f\left(n\right)$的表达式，并用数学归纳法证明.