普通高等学校招生全国统一考试理科数学

设集合$M=\{1,2,zi\}$,$i$为虚数单位，$N=\left\{3,4\right\}$，$M\cap N=\left\{4\right\}$，则复数$z=$ （   ）

函数$y=\sqrt{x}\ln \left(1-x\right)$的定义域为（）

等比数列$x,3x+3,6x+6,...$的的第四项等于 （   ）

总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为  （）

$(x^2-\frac{1}{x^3}{)}^5$展开式中的常数项为（   ）

$S_1={\int }_1^2{x}^{2}dx,S_2={\int }_1^2\frac{1}{x}dx,S_3={\int }_1^2{e}^{x}dx$若 ，则$S_1,S_2,S_3$的大小关系为

阅读如下程序框图，如果输出i=5，那么在空白矩形框中应填入的语句为（）

如果，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面$\alpha$上，且$AB//CD$，正方体的六个面所在的平面与直线$CE,EF$相交的平面个数分别记为$m,n$，那么$m+n=$（   ）

过点 $(\sqrt{2},0)$引直线 $l$与曲线 $y=\sqrt{1-x^2}$ 交于 $A,B$两点 ， $O$为坐标原点，当 $△AOB$的面积取最大值时，直线 $l$的斜率等于（  ）
A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$      B. $-\frac{\sqrt{3}}{3}$      C. $\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$    D $-\sqrt{3}$

如图，半径为1的半圆$O$与等边三角形$ABC$夹在两平行线$l_1$，$l_2$之间，$l_1\parallel l_2$，$l$与半圆相交于$F$,$G$两点，与三角形$ABC$两边相交于$E$,$D$两点。设弧$FG$的长为$x$($0<x<$$\pi$),$y=EB+BC+CD$若$l$从$l_1$平行移动到$l_2$，则函数$y=f\left(x\right)$)的图像大致是

$A$         $B$        $C$        $D$

函数$y=\sin 2x+2\sqrt{3}{\sin }^{2}x$的最小正周期$T$为.

设$e_1,e_2$为单位向量。且$e_1,e_2$的夹角为$\frac{\pi }{3}$，若$a=e_1+3e_2,b=2e_1$，则向量$a$在$b$方向上的射影为.

设函数$f\left(x\right)$在$\left(0,+\infty \right)$内可导，且$f\left(e^x\right)=x+e^x$，则$f^{`}\left(1\right)$=.

抛物线$x^2=2py(p>0)$的焦点为F，其准线与双曲线$\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{3}=1$ 相交于$A,B$两点，若$∆ABC$为等边三角形，则p=

在实数范围内，不等式$\left|\left|x-2\right|-1\right|\le 1$的解集为.

在 $△ABC$中，角 $A,B,C$所对的边分别为 $a,b,c$，已知 $\cos C+(\cos A-\sqrt{3}\sin A)\cos B=0$.

（1）求角 $B$的大小；
（2）若 $a+c=1$，求 $b$的取值范围.

正项数列$\left\{a_n\right\}$的前$n$项和$S_n$满足：${S_n}^2-\left(n^2+n-1\right)S_n-\left(n^2+n\right)=0$

（1）求数列$\left\{a_n\right\}$的通项公式$a_n$；
（2）令$b_n=\frac{n+1}{{\left(n+2\right)}^2{a_n}^2}$，数列$\left\{b_n\right\}$的前$n$项和为$T_n$．证明：对于任意$n\in N^{+}$，都有$T_n<\frac{5}{64}$.

小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以$O$为起点，再从$A_1$，$A_2,A_3,A_4,A_5,A_6,A,A_8$（如图）这8个点中任取两点分别分终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为$X$。若$X=0$就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队。

（1）求小波参加学校合唱团的概率；
（2）求$X$的分布列和数学期望.

如图，四棱锥$P-ABCD$中，$PA\perp$平面$ABCD$，$E$为$BD$的中点，$G$为$PD$的中点，$△DAB$ ≌$△DCB$，$EA=EB=AB=1,PA=\frac{3}{2}$，连接$CE$并延长交$AD$于$F$.

（1）求证：$AD\perp$平面$CFG$；
（2）求平面$BCP$与平面$DCP$的夹角的余弦值.

如图，椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$经过点$P$$\left(1,\frac{3}{2}\right)$，离心率$e=\frac{1}{2}$，直线$l$的方程为$x=4$.

（1）求椭圆$C$的方程；
（2）$AB$是经过右焦点$F$的任一弦（不经过点$P$），设直线$AB$与直线l相交于点$M$，记$PA,PB,PM$的斜率分别为$k_1,k_2,k_3$.问：是否存在常数$\lambda$，使得$k_1+k_2=\lambda k_3$？若存在，求$\lambda$的值；若不存在，说明理由.

已知函数$f\left(x\right)=a(1-2\left|x-\frac{1}{2}\right|)$,$a$为常数且$a>0$.

（1）证明：函数$f\left(x\right)$的图像关于直线$x=\frac{1}{2}$对称；
（2）若$x_0$满足$f\left(f\right(x_0\left)\right)=x_0$_，但$f\left(x_0\right)\ne x_0$，则$x_0$称为函数$f\left(x\right)$的二阶周期点，如果$f\left(x\right)$有两个二阶周期点$x_1,x_2$，试确定$a$的取值范围；
（3）对于（2）中的$x_1,x_2$，和$a$，设$x_3$为函数$f\left(f\right(x\left)\right)$的最大值点，$A(x_1,f(f\left(x_1\right)\left)\right),B(x_2,f(f\left(x_2\right)\left)\right),C(x_3,0)$，记$△ABC$的面积为$S\left(a\right)$，讨论$S\left(a\right)$的单调性.