2011年全国统一高考文科数学试卷（湖南卷）

设全集 $U=M\cup N=\left\{1,2,3,4,5\right\},M\cap C_{\cup }N=\left\{2,4\right\}$,则 $N=$（）

若 $a,b\in R,i$为虚数单位，且 $(a+i)i=b+i$，则(   )

$x>1$是 $\left|x\right|>1$的(   )

如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（  ）

通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

由 $K^2=\frac{n(ad-bc{)}^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}\mathrm{算得},K^2=\frac{110\times (40\times 30-20\times 30{)}^2}{60\times 50\times 60\times 50}\approx 7.8$附表：

参照附表，得到的正确结论是（）

设双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{9}=1\left(a>0\right)$的渐近线方程为 $3x\pm 2y=0$,则 $a$的值为（）

曲线 $y=\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}-\frac{1}{2}$在点 $M\left(\frac{\pi }{4},0\right)$处的切线斜率为（）

已知函数 $f\left(x\right)=e^x-1,g\left(x\right)=-x^2+4x-3$,若有则的取值范围为（）

在直角坐标系 $xOy$中，曲线 $C_1$的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=2\cos \alpha \\ y=\sqrt{3}\sin \alpha \end{array}\right.\left(\alpha \mathrm{为参数}\right)$．在极坐标系（与直角坐标系 $xOy$取相同的长度单位，且以原点 $O$为极点，以 $x$轴正半轴为极轴）中，曲线 $C_2$的方程为 $p\left(\cos \theta -\sin \theta \right)+1=0$, $C_1$与 $C_2$的交点个数为．

已知某试验范围为 $\left[10,90\right]$，若用分数法进行 $4$次优选试验，则第二次试点可以是 ．

若执行如图2所示的框图，输入 $x_1=1,x_2=2,x_3=4,x_4=8$ 则输出的数等于 ．

已知 $f\left(x\right)$为奇函数， $g\left(x\right)=f\left(x\right)+9,g(-2)=3$,则 $f\left(2\right)=$．

设向量 $\underset{a}{\to },\underset{b}{\to }$满足 $\left|\underset{a}{\to }\right|=2\sqrt{5},b=\left(2,1\right)$且 $\underset{a}{\to }与\underset{b}{\to }$的方向相反，则 $\underset{a}{\to }$的坐标为 ．

设 $m>1$在约束条件 $\{\begin{array}{c}y\ge x\\ y\le mx\\ x+y\le 1\end{array}$下，目标函数 $z=x+5y$的最大值为4，则 $m$的值为．

已知圆 $C:x^2+y^2=12$，直线 $l:4x+3y=25$.

（1）圆 $C$的圆心到直线 $l$的距离为.

（2）圆 $C$上任意一点 $A$到直线 $l$的距离小于2的概率为.

给定 $k\in N^{*}$，设函数 $f:N^{*}\to N^{*}$满足：对于任意大于 $k$的正整数 $n$， $f\left(n\right)=n-k$

（1）设 $k=1$，则其中一个函数 $f$在 $n=1$处的函数值为；
（2）设 $k=4$，且当 $n\le 4$时， $2\le f\left(n\right)\le 3$，则不同的函数 $f$的个数为.

在 $△ABC$中，角 $A,B,C$所对的边分别为 $a,b,c$且满足 $c\sin A=a\cos C$.

（I）求角 $C$的大小；
（II）求 $\sqrt{3}\sin A-\cos (B+\frac{\pi }{4})$的最大值，并求取得最大值时角 $A,B$的大小．

某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量 $Y$（单位：万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量 $X$（单位：毫米）有关．据统计，当 $X=70$时， $Y=460$； $X$每增加10， $Y$增加5；已知近20年 $X$的值为：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160．
（I）完成如下的频率分布表：
近20年六月份降雨量频率分布表

降雨量	70	110	140	160	200	220
频率	$\frac{1}{20}$		$\frac{4}{20}$			$\frac{2}{20}$

（II）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份的降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率．

如图，在圆锥 $PO$ 中，已知 $PO=\sqrt{2}$ , $\odot O$ 的直径 $AB=2$ ,点 $C$ 在 $AB$ 上，且 $\angle CAB=30°$ , $D$ 为 $AC$ 的中点．
（I）证明： $AC\perp \mathrm{平面}POD$

（II）求直线和平面 $PAC$ 所成角的正弦值．

某企业在第 $1$年初购买一台价值为 $120$万元的设备 $M,M$的价值在使用过程中逐年减少，从第 $2$年到第 $6$年，每年初 $M$的价值比上年初减少 $10$万元；从第 $7$年开始，每年初 $M$的价值为上年初的 $75\%$．
（1）求第 $n$年初 $M$的价值 $a_n$的表达式；
（2）设 $A_n=\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}$,若 $A_n$大于80万元，则 $M$继续使用，否则须在第 $n$年初对 $M$更新，证明：须在第9年初对 $M$更新．

已知平面内一动点 $P$到点 $F$（1，0）的距离与点 $P$到 $y$轴的距离的等等于1．
（1）求动点 $P$的轨迹的方程；
（2）过点 $F$作两条斜率存在且互相垂直的直线 $l_1,l_2$，设 $l_1$与轨迹 $C$相交于点 $A,B$， $l_2$与轨迹 $C$相交于点 $D,E$，求 $\stackrel{\rightharpoonup }{AD}·\stackrel{\rightharpoonup }{EB}$的最小值．

设函数 $f\left(x\right)=x-\frac{1}{x}-a\ln x(a\in R)$

（I）讨论 $f\left(x\right)$的单调性；

（II）若 $f\left(x\right)$有两个极值点 $x_1$和 $x_2$，记过点 $A(x_1,f(x_1\left)\right)$, $B(x_2,f(x_2\left)\right)$的直线的斜率为 $k$，问：是否存在 $a$，使得 $k=2-a$？若存在，求出 $a$的值，若不存在，请说明理由．