2013年全国统一高考理科数学试卷（福建卷）

已知复数 $z$的共轭复数 $\overline{z}=1+2i$（ $i$为虚数单位），则 $z$在复平面内对应的点位于（   ）

已知集合 $A=\{1,a\},B=\{1,2,3\}$，则 $``a=3``$是 $``A\underline{\subset }B``$的（  ）

双曲线 $\frac{x^2}{4}-y^2=1$的顶点到渐进线的距离等于（  ）

某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图。已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（  ）

满足 $a,b\in \{-1,0,1,2\}$，且关于 $x$的方程 $a{x}^2+2x+b=0$有实数解的有序数对的个数为（  ）

阅读如图所示的程序框图，若编入的 $k=10$，则该算法的功能是（）

在四边形 $ABCD$中， $\overline{AC}=(1,2)$， $\overline{BD}=(-4,2)$,则该四边形的面积为（ ）

设函数 $f\left(x\right)$的定义域为 $R$， $x_0\left(x_0\ne 0\right)$是 $f\left(x\right)$的极大值点， $\forall x\in R,f\left(x\right)\le f\left(x_0\right)$,以下结论一定正确的是（）

已知等比数列 $\left\{a_n\right\}$的公比为 $q$，记 $b_n=a_{m\left(n-1\right)+1}+a_{m\left(n-1\right)+2}+\dots +a_{m\left(n-1\right)+m}$， $b_n=a_{m\left(n-1\right)+1}*a_{m\left(n-1\right)+2}*\dots *a_{m\left(n-1\right)+m}$， $\left(m,n\in N^{*}\right)$，则以下结论一定正确的是（）

设 $S,T$是 $R$的两个非空子集，如果存在一个从 $S$到 $T$的函数 $y=f\left(x\right)$满足： $\left(i\right)$ $T=\left\{\overline{)f\left(x\right)}x\in S\right\}$； $\left(ii\right)$对任意 $x_1,x_2\in S$，当 $x_1<x_2$时，恒有 $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$，那么称这两个集合"保序同构"，以下集合对不是"保序同构"的是（）

利用计算机产生0～1之间的均匀随机数 $a$，则事件 $`3a-1<0`$的概率为.

已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是

如图，在 $∆ABC$中，已知点 $D$在 $BC$边上， $AD\perp AC,\sin \angle BAC=\frac{2\sqrt{2}}{3},AB=3\sqrt{2},AD=3$,则 $BD$的长为.

椭圆 $\Gamma :\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$的左右焦点分别为 $F_1,F_2$,焦距为 $2c$，若直线 $y=\sqrt{3}\left(x+c\right)$与椭圆的一个交点满足 $\angle M{F}_1{F}_2=2\angle M{F}_2{F}_1$,则该椭圆的离心率等于.

当 $x\in R,\left|x\right|<1$时，有如下表达式： $1+x+x^2+\cdots +x^n+\cdots =\frac{1}{1-x}$两边同时积分得： ${\int }_0^{\frac{1}{2}}1dx+{\int }_0^{\frac{1}{2}}xdx+{\int }_0^{\frac{1}{2}}{x}^{2}dx+\cdots +{\int }_0^{\frac{1}{2}}{x}^{n}dx+\cdots ={\int }_0^{\frac{1}{2}}\frac{1}{1-x}dx$.从而得到如下等式：
$1\times \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{1}{3}\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^3+\cdots +\frac{1}{n+1}\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+1}+\cdots =\ln 2$.请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：
$C_n^0\times \frac{1}{2}+\frac{1}{2}{C}_n^1\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{1}{3}{C}_n^2\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^3+\cdots +\frac{1}{n+1}{C}_n^n\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+1}=$.

某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为 $\frac{2}{3}$，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为 $\frac{2}{5}$，中奖可以获得3分；未中奖则不得分。每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品。
（Ⅰ）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为 $X$,求 $X\le 3$的概率；
（Ⅱ）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？

已知函数 $f\left(x\right)=x-a\ln x(a\in R)$当 $a=2$时，求曲线 $y=f\left(x\right)$在点 $A(1,f(1\left)\right)$处的切线方程；求函数 $f\left(x\right)$的极值.

如图，在正方形 $OABC$中， $O$为坐标原点，点 $A$的坐标为 $(10,0)$，点 $C$的坐标为 $(0,10)$，分别将线段 $OA$和 $AB$十等分，分点分别记为 $A_1,A_2,\cdots ,A_9$和 $B_1,B_2,\cdots ,B_9$，连接 $O{B}_i$，过 $A_i$作 $x$轴的垂线与 $O{B}_i$交于点 $P_i(i\in N^{*},1\le i\le 9)$。

（1）求证：点 $P_i(i\in N^{*},1\le i\le 9)$都在同一条抛物线上，并求抛物线 $E$的方程；
（2）过点 $C$作直线 $l$与抛物线E交于不同的两点 $M,N$, 若 $∆OCM$与 $∆OCN$的面积之比为4:1，求直线 $l$的方程。

如图，在四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$中，侧棱 $A{A}_1\perp$底面 $ABCD$, $AB\parallel DC,A{A}_1=1,AB=3k,AD=4k,BC=5k,DC=6k,\left(k>0\right)$

（Ⅰ）求证： $CD\perp$平面 $AD{D}_1{A}_1$.

（Ⅱ）若直线 $A{A}_1$与平面 $A{B}_{1}C$所成角的正弦值为 $\frac{6}{7}$，求 $k$的值.

（Ⅲ）现将与四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为 $f\left(k\right)$，写出 $f\left(k\right)$的解析式。（直接写出答案，不必说明理由）.

已知函数 $f\left(x\right)=\sin \left(\omega x+\phi \right)\left(\omega >0,0<\phi <\pi \right)$的周期为 $\pi$，图象的一个对称中心为 $\left(\frac{\pi }{4},0\right)$，将函数 $f\left(x\right)$图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个 $\frac{\pi }{2}$单位长度后得到函数 $g\left(x\right)$的图象。
（Ⅰ）求函数 $f\left(x\right)$与 $g\left(x\right)$的解析式
（Ⅱ）是否存在 $x_0\in \left(\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4}\right)$，使得 $f\left(x_0\right),g\left(x_0\right),f\left(x_0\right)g\left(x_0\right)$按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定 $x_0$的个数，若不存在，说明理由；
（Ⅲ）求实数 $a$与正整数 $n$，使得 $F\left(x\right)=f\left(x\right)+ag\left(x\right)$在 $\left(0,n\pi \right)$内恰有2013个零点.

已知直线 $l:ax+y=1$在矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$对应的变换作用下变为直线 $l_1:x+by=1$

（I）求实数 $a,b$的值
（II）若点 $P(x_o,y_o)$在直线 $l$上，且 $A\left(\begin{array}{c}{x}_o\\ y_o\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_o\\ y_o\end{array}\right)$，求点 $P$的坐标

在直角坐标系中，以坐标原点 $O$为极点， $x$轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点 $A$的极坐标为 $(\sqrt{2},\frac{\pi }{4})$，直线 $l$的极坐标方程为 $\rho \cos (\theta -\frac{\pi }{4})=a$，且点 $A$在直线 $l$上。
（Ⅰ）求 $a$的值及直线 $l$的直角坐标方程；
（Ⅱ）圆 $C$的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=1+\cos a\\ y=\sin a\end{array}\right(a\mathrm{为参数}）$，试判断直线 $l$与圆 $C$的位置关系.

设不等式 $\left|x-2\right|<a(a\in N^{{*}^{}})$的解集为A,且 $\frac{3}{2}\in A,\frac{1}{2}\notin A$.

（Ⅰ）求 $a$的值

（Ⅱ）求函数 $f\left(x\right)=\left|x+a\right|+\left|x-2\right|$的最小值