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2013年全国统一高考理科数学试卷(福建卷)

已知复数 z 的共轭复数 z = 1 + 2 i i 为虚数单位),则 z 在复平面内对应的点位于(   )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
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已知集合 A = { 1 , a } , B = { 1 , 2 , 3 } ,则 ` ` a = 3 ` ` ` ` A B ` ` 的(  )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
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双曲线 x 2 4 - y 2 = 1 的顶点到渐进线的距离等于(  )

A. 2 5 B. 4 5 C. 2 5 5 D. 4 5 5
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某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分成6组:[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]加以统计,得到如图所示的频率分布直方图。已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为(  )

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A. 588 B. 480 C. 450 D. 120
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满足 a , b { - 1 , 0 , 1 , 2 } ,且关于 x 的方程 a x 2 + 2 x + b = 0 有实数解的有序数对的个数为(  )

A. 14 B. 13 C. 12 D. 10
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阅读如图所示的程序框图,若编入的 k = 10 ,则该算法的功能是()

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A. 计算数列 2 n - 1 的前10项和 B. 计算数列 2 n - 1 的前9项和
C. 计算数列 2 n - 1 的前10项和 D. 计算数列 2 n - 1 的前9项和
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在四边形 A B C D 中, A C ¯ = ( 1 , 2 ) B D ¯ = ( - 4 , 2 ) ,则该四边形的面积为( )

A. 5 B. 2 5 C. 5 D. 10
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设函数 f x 的定义域为 R x 0 x 0 0 f x 的极大值点, x R , f x f x 0 ,以下结论一定正确的是(

A. x R , f ( x ) < f ( x 0 ) B. - x 0 f - x 的极小值点
C. - x 0 - f x 的极小值点 D. - x 0 - f - x 的极小值点
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已知等比数列 a n 的公比为 q ,记 b n = a m n - 1 + 1 + a m n - 1 + 2 + + a m n - 1 + m b n = a m n - 1 + 1 * a m n - 1 + 2 * * a m n - 1 + m m , n N * ,则以下结论一定正确的是(

A. 数列 b n 为等差数列,公差为 q m B. 数列 b n 为等比数列,公比为 q 2 m
C. 数列 c n 为等比数列,公比为 q m 2 D. 数列 c n 为等比数列,公比为 q m m
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S , T R 的两个非空子集,如果存在一个从 S T 的函数 y = f x 满足: i T = f x x S i i 对任意 x 1 , x 2 S ,当 x 1 < x 2 时,恒有 f x 1 < f x 2 ,那么称这两个集合"保序同构",以下集合对不是"保序同构"的是(

A. A = N * , B = N B. A = x - 1 x 3 , B = x x = - 8 0 < x 10
C. A = x 0 < x < 1 , B = R D. A = Z , B = Q
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利用计算机产生0~1之间的均匀随机数 a ,则事件 ` 3 a - 1 < 0 ` 的概率为.

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已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体,如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是

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如图,在 A B C 中,已知点 D B C 边上, A D A C , sin B A C = 2 2 3 , A B = 3 2 , A D = 3 ,则 B D 的长为.

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椭圆 Γ : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 a > b > 0 的左右焦点分别为 F 1 , F 2 ,焦距为 2 c ,若直线 y = 3 x + c 与椭圆的一个交点满足 M F 1 F 2 = 2 M F 2 F 1 ,则该椭圆的离心率等于.

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x R , x < 1 时,有如下表达式: 1 + x + x 2 + + x n + = 1 1 - x 两边同时积分得: 0 1 2 1 d x + 0 1 2 x d x + 0 1 2 x 2 d x + + 0 1 2 x n d x + = 0 1 2 1 1 - x d x .从而得到如下等式:
1 × 1 2 + 1 2 × 1 2 2 + 1 3 × 1 2 3 + + 1 n + 1 × 1 2 n + 1 + = ln 2 .请根据以上材料所蕴含的数学思想方法,计算:
C n 0 × 1 2 + 1 2 C n 1 × 1 2 2 + 1 3 C n 2 × 1 2 3 + + 1 n + 1 C n n × 1 2 n + 1 = .

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某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为 2 3 ,中奖可以获得2分;方案乙的中奖率为 2 5 ,中奖可以获得3分;未中奖则不得分。每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品。
(Ⅰ)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为 X ,求 X 3 的概率;
(Ⅱ)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学期望较大?

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已知函数 f ( x ) = x - a ln x ( a R ) a = 2 时,求曲线 y = f ( x ) 在点 A ( 1 , f ( 1 ) ) 处的切线方程;求函数 f ( x ) 的极值.

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如图,在正方形 O A B C 中, O 为坐标原点,点 A 的坐标为 ( 10 , 0 ) ,点 C 的坐标为 ( 0 , 10 ) ,分别将线段 O A A B 十等分,分点分别记为 A 1 , A 2 , , A 9 B 1 , B 2 , , B 9 ,连接 O B i ,过 A i x 轴的垂线与 O B i 交于点 P i ( i N * , 1 i 9 )

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(1)求证:点 P i ( i N * , 1 i 9 ) 都在同一条抛物线上,并求抛物线 E 的方程;
(2)过点 C 作直线 l 与抛物线E交于不同的两点 M , N , 若 O C M O C N 的面积之比为4:1,求直线 l 的方程。

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如图,在四棱柱 A B C D - A 1 B 1 C 1 D 1 中,侧棱 A A 1 底面 A B C D , A B D C , A A 1 = 1 , A B = 3 k , A D = 4 k , B C = 5 k , D C = 6 k , k > 0

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(Ⅰ)求证: C D 平面 A D D 1 A 1 .

(Ⅱ)若直线 A A 1 与平面 A B 1 C 所成角的正弦值为 6 7 ,求 k 的值.

(Ⅲ)现将与四棱柱 A B C D - A 1 B 1 C 1 D 1 形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱,规定:若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同,则视为同一种拼接方案,问共有几种不同的拼接方案?在这些拼接成的新四棱柱中,记其中最小的表面积为 f k ,写出 f k 的解析式。(直接写出答案,不必说明理由).

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已知函数 f x = sin ω x + φ ω > 0 , 0 < φ < π 的周期为 π ,图象的一个对称中心为 π 4 , 0 ,将函数 f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向右平移个 π 2 单位长度后得到函数 g x 的图象。
(Ⅰ)求函数 f x g x 的解析式
(Ⅱ)是否存在 x 0 π 6 , π 4 ,使得 f x 0 , g x 0 , f x 0 g x 0 按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定 x 0 的个数,若不存在,说明理由;
(Ⅲ)求实数 a 与正整数 n ,使得 F x = f x + a g x 0 , n π 内恰有2013个零点.

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已知直线 l : a x + y = 1 在矩阵 A = 1 2 0 1 对应的变换作用下变为直线 l 1 : x + b y = 1

(I)求实数 a , b 的值
(II)若点 P ( x o , y o ) 在直线 l 上,且 A x o y o = x o y o ,求点 P 的坐标

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在直角坐标系中,以坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点 A 的极坐标为 ( 2 , π 4 ) ,直线 l 的极坐标方程为 ρ cos ( θ - π 4 ) = a ,且点 A 在直线 l 上。
(Ⅰ)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程;
(Ⅱ)圆 C 的参数方程为 { x = 1 + cos a y = sin a ( a 为参数 ,试判断直线 l 与圆 C 的位置关系.

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设不等式 x - 2 < a ( a N * ) 的解集为A,且 3 2 A , 1 2 A .

(Ⅰ)求 a 的值

(Ⅱ)求函数 f ( x ) = x + a + x - 2 的最小值

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