2010年高考试题分项版理科数学之专题十五 推理与证明

已知 $∆ABC$的三边长为有理数
（1）求证 $\cos A$是有理数;
（2）对任意正整数 $n$,求证 $\cos nA$也是有理数.

观察下列等式： $1^3+2^3=3^2$, $1^3+2^3+3^3=6^2$， $1^3+2^3+3^3+4^3={10}^2$，…，根据上述规律，第五个等式为.

证明以下命题：
（1）对任一正整数 $a$，都存在正整数 $b,c(b<c)$，使得 $a^2,b^2,c^2$成等差数列；
（2）存在无穷多个互不相似的三角形 ${△}_n$,其边长 $a_n,b_n,c_n$为正整数且 ${a_n}^2,{b_n}^2,{c_n}^2$成等差数列.

在数列 $\left\{a_n\right\}$中， $a_1=1$， $a_{n+1}=c{a}_n+c^{n+1}（2n+1）(n\in N*）$，其中实数 $c\ne 0$.

（1）求 $\left\{a_n\right\}$的通项公式；

（2）若对一切 $k\in N*$有 $a_{2k}>a_{2k-1}$，求 $c$的取值范围。

已知数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和 $S_n=(n^2+n)3^n$．
（Ⅰ）求 $\underset{S\to \infty }{lim}\frac{a_n}{S_n}$；
（Ⅱ）证明： $\frac{a_1}{1^2}+\frac{a_2}{2^2}+...+\frac{a_n}{n^2}>3^n$．

已知数列 $\left\{a_n\right\}$满足： $a_1=\frac{1}{2}$， $\frac{3(1+a_{n+1})}{1-a_n}=\frac{2(1+a_n)}{1-a_{n+1}}$, $a_n{a}_{n+1}＜0（n\ge 1）$；数列 _{$\left\{b_n\right\}$}满足： $b_n={a_{n+1}}^2-{a_n}^2（n\ge 1）$.

（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$， $\left\{b_n\right\}$的通项公式；

（2）证明：数列 $\left\{b_n\right\}$中的任意三项不可能成等差数列。

设 $f\left(x\right)=\frac{1+a^x}{1-a^x}(a>0且a\ne 1)$， $g\left(x\right)$是 $f\left(x\right)$的反函数.
（Ⅰ）设关于 $x$的方程求 ${\log }_a\frac{t}{(x^2-1)(7-x)}=g\left(x\right)$在区间 $\left[2,6\right]$上有实数解，求 $t$的取值范围；
（Ⅱ）当 $a＝e$（e为自然对数的底数）时，证明： $\underset{k=2}{\overset{n}{\sum }}g\left(k\right)>\frac{2-n-n^2}{\sqrt{2n(n+1)}}$；
（Ⅲ）当 $0＜a\le \frac{1}{2}$时，试比较 $\left|\underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}f\left(k\right)-n\right|$与4的大小，并说明理由.

已知数列 $\left\{a_n\right\}$中， $a_1=1,a_{n+1}=c-\frac{1}{a_n}$.
（Ⅰ）设 $c=\frac{5}{2},b_n=\frac{1}{a_n-2}$，求数列 $\left\{b_n\right\}$的通项公式；
（Ⅱ）求使不等式 $a_n<a_{n-1}<3$成立的 $c$的取值范围.