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2008年全国统一高考理科数学试卷(上海卷)

不等式 x - 1 < 1 的解集是.

来源:2008年高考上海卷理科数学试题
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若集合 A { x | x 2 } B { x | x a } 满足 A B { 2 } ,则实数 a .

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若复数 z 满足 z i 2 - z i 是虚数单位),则 z .

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若函数 f ( x ) 的反函数为 f - 1 ( x ) x 2 ( x > 0 ,则 f ( 4 ) .

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函数 f ( x ) = sin x + sin ( + x ) 的最大值是.

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在平面直角坐标系中,从六个点: A ( 0 , 0 ) B ( 2 , 0 ) C ( 1 , 1 ) D ( 0 , 2 ) E ( 2 , 2 ) F ( 3 , 3 ) 中任取三个,这三点能构成三角形的概率是(结果用分数表示).

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设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,若当 x 0 , + 时, f ( x ) = log 10 x ,则满足 f ( x ) > 0 x 的取值范围是              .

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已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7, a , b ,12,13.7,18.3,20,且总体的中位数为10.5,若要使该总体的方差最小,则 a , b 的取值分别是.

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某海域内有一孤岛,岛四周的海平面(视为平面)上有一浅水区(含边界),其边界是长轴长为 2 a ,短轴长为 2 b 的椭圆,已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为 h 1 h 2 2,且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上,现有船只经过该海域(船只的大小忽略不计),在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为 θ 1 θ 2 ,那么船只已进入该浅水区的判别条件是.

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方程 x 2 + x - 1 = 0 的解可视为函数 y = x 3 + a 的图像与函数 y = x 4 的图像交点的横坐标,若 x 4 + a x - 4 = 0 的各个实根 x 1 x 2 ,…, x k ( k ≤4)所对应的点( x i )( i 1 , 2 , , k )均在直线 y = x 的同侧,则实数 a 的取值范围是.

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组合数 C ( n > r 1 , n , r Z ) 恒等于(

A.

C

B.

( n + 1 ) ( r + 1 ) C

C.

n r C

D.

n r C n - 1 r - 1

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给定空间中的直线 l 及平面 a ,条件"直线 l 与平面 a 内无数条直线都垂直"是"直线 l 与平面 a 垂直"的()条件

A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分又非必要
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如图,在平面直角坐标系中, Ω 是一个与 x 轴的正半轴、 y 轴的正半轴分别相切于点 C D 的定圆所围成区域(含边界), A B C D 是该圆的四等分点,若点 P ( x , y ) P ` ( x ` , y ` ) 满足 x x ` y y ` ,则称 P 优于 P ` ,如果 Ω 中的点 Q 满足:不存在 Ω 中的其它点优于 Q ,那么所有这样的点 Q 组成的集合是劣弧( 

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A.

A B

B. B C C. C D D. D A
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如图,在棱长为2的正方体 A B C D - A 1 B 1 C 1 D 1 中, E B C 1 的中点,求直线 D E 与平面 A B C D 所成角的大小(结果用反三角函数表示).

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如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为 120 ° 的扇形 A O B ,小区的两个出入口设置在点 A 及点 C 处,且小区里有一条平行于 B O 的小路 C D ,已知某人从 C 沿 C D 走到 D 用了10分钟,从 D 沿 D A 走到 A 用了6分钟,若此人步行的速度为每分钟50米,求该扇形的半径 O A 的长(精确到1米).

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已知双曲线 C : x 2 4 - y 2 = 1 P C 上的任意点.
(1)求证:点 P 到双曲线 C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数;
(2)设点 A 的坐标为 ( 3 , 0 ) ,求 P A 的最小值.

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已知函数 f ( x ) = 2 x - 1 2 x .
(1)若 f ( x ) = 2 ,求 x 的值;
(2)若 2 t f ( 2 t ) + m f ( t ) 0 对于 t [ 1 , 2 ] 恒成立,求实数 m 的取值范围.

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P ( a , b ) ( b 0 ) 是平面直角坐标系 x O y 中的点, l 是经过原点与点 ( 1 , b ) 的直线,记 Q 是直线 l 与抛物线 x 2 = 2 p y ( p 0 ) 的异于原点的交点
(1)若 a = 1 , b = 2 , p = 2 ,求点 Q 的坐标;
(2)若点 P ( a , b ) ( a b 0 ) 在椭圆 x 2 4 + y 2 = 1 上, p = 1 2 a b ,求证:点 Q 落在双曲线 4 x 2 - 4 y 2 = 1 上;
(3)若动点 P ( a , b ) 满足 a b 0 p = 1 2 a b ,若点 Q 始终落在一条关于 x 轴对称的抛物线上,试问动点 P 的轨迹落在哪种二次曲线上,并说明理由.

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已知以 a 1 为首项的数列 a n 满足:
(1)当 a 1 1 c 1 d 3 时,求数列 a n 的通项公式;
(2)当 0 a 1 1 c 1 d 3 时,试用 a 1 表示数列 a n 的前 100 项的和 S 100
(3)当 0 a 1 m m 是正整数), c 1 d 3 m 时,求证:数列 a 2 a 3 m + 2 a 6 m + 2 a 9 m + 2 成等比数列当且仅当 d 3 m .

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若向量 a , b 满足 a = 1 , b = 2 ,且 a b 的夹角为,则 a + b = .

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若数列 a n 是首项为1,公比为 a = 3 2 的无穷等比数列,且 a n 各项的和为 a ,则 a 的值是(

A. 1 B. 2 C. 1 2 D. 5 4
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