全国重点高中提前招生真题过关（十六）

图①是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形 $\mathit{OABC}$.若 $\mathit{AB}=\mathit{BC}=1,\angle \mathit{AOB}=\alpha$，则 $O{C}^2$的值为（ ）

构建几何图形解决代数问题体现了“数形结合”的重要思想.在计算 $\text{tan}{15}^{\circ }$时，如图所示，在 $Rt△\mathit{ACB}$中， $\angle C={90}^{\circ },\angle \mathit{ABC}={30}^{\circ }$，延长 $\mathit{CB}$使 $\mathit{BD}=\mathit{AB}$，连接 $\mathit{AD}$，得 $\angle D={15}^{\circ }$，所以 $\text{tan}{15}^{\circ }=\frac{\mathit{AC}}{\mathit{CD}}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}=2-\sqrt{3}$.类比这种方法，计算 $\text{tan}{22.5}^{\circ }$的值为（ ）

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=2,\mathit{BC}=4,\odot D$的半径为1.现将一个直角三角板的直角顶点与矩形的对称中心 $O$重合，绕着 $O$点转动三角板，使它的一条直角边与 $\odot D$切于点 $H$，此时两直角边与 $\mathit{AD}$交于 $E,F$两点，则 $\text{tan}\angle \mathit{EFO}$的值为（ ）

在直角 $△\mathit{ABC}$中， $\angle B$为直角， $\angle A$的平分线 $\mathit{AD}$交 $\mathit{BC}$于点 $D,\mathit{BC}$边的中点为 $E$，且 $\mathit{BD}:\mathit{DE}:\mathit{EC}=1:2:3$，则 $\text{sin}\angle \mathit{BAC}=$（ ）

如图，点 $A$是双曲线 $y=\frac{k}{x}$上一点，过 $A$作 $\mathit{AB}//x$轴，交直线 $y=-x$于点 $B$，点 $D$是 $x$轴上一点，连接 $\mathit{BD}$交双曲线于点 $C$，连接 $\mathit{AD}$，若 $\mathit{BC}:\mathit{CD}=3:2,△\mathit{ABD}$的面积为 $\frac{11}{4},\text{tan}\angle \mathit{ABD}=\frac{9}{5}$，则 $k$的值为（ ）

在 $△\mathit{ABC}$中， $a,b,c$分别为角 $A,B,C$的对边，若 $\angle B={60}^{\circ }$，则 $\frac{c}{a+b}+\frac{a}{c+b}$的值为 （ ）

已知锐角 $△\mathit{ABC}$中，设 $M=\text{sin}A+\text{sin}B+\text{sin}C,N=\text{cos}A+\text{cos}B+\text{cos}C$，则 $M,N$的大小关系为（ ）

已知 $\text{sin}\alpha \cdot \text{cos}\alpha =\frac{1}{8}$，且 $0^{\circ }<\alpha <{45}^{\circ }$，则 $\text{cos}\alpha -\text{cos}\alpha$的值为（ ）

如图， 已知正方形 $\mathit{ABCD}$ 的边长为 $1$， $E$ 为 $\mathit{AB}$ 边上一点， 以点 D为中心，将 $△\mathit{DAE}$按逆时针方向旋转得 $△\mathit{DCF}$，连接 $\mathit{EF}$，分别交 $\mathit{BD},\mathit{CD}$于点 $M,N$.若 $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{DN}}=\frac{2}{5}$，则 $\text{sin}\angle \mathit{EDM}=$＿＿＿＿＿.

若 $\text{tan}\alpha =3$，则 $\frac{\text{sin}\alpha \cdot \text{cos}\alpha -{\text{sin}}^2\alpha }{1+3\text{sin}\alpha \cdot \text{cos}\alpha }$的值为＿＿＿＿＿.

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AE}\perp \mathit{BC},E$为垂足，若 $\text{cos}B=\frac{4}{5},\mathit{EC}=2,P$是 $\mathit{AB}$边上的一个动点，则线段 $\mathit{PE}$长度的最小值是＿＿＿＿＿.

如图，已知 $E$是矩形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$上一动点，正方形 $\mathit{EFGH}$的顶点 $F,H$分别在边 $\mathit{AD},\mathit{EC}$上，若 $\mathit{AB}=3,\mathit{BC}=4$，则 $\text{tan}\angle \mathit{DAG}$的值为＿＿＿＿＿.

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}=5,\mathit{AB}=12,\text{sin}A=\frac{4}{5}$.过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $E$，则 $\text{sin}\angle \mathit{BCE}=$＿＿＿＿＿.

如图，等腰 $△\mathit{ABC}$中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}=10,\mathit{AB}=12$，以 $\mathit{BC}$为直径作 $\odot O$交 $\mathit{AB}$于点 $D$，交 $\mathit{AC}$于点 $G,\mathit{DF}\perp \mathit{AC}$，垂足为 $F$，交 $\mathit{CB}$的延长线于点 $E$，则 $\text{sin}\angle E=$＿＿＿＿＿.

已知 $△\mathit{ABC}$中，满足 $\frac{1}{\text{tan}\frac{A}{2}}+\frac{1}{\text{tan}\frac{B}{2}}=\frac{5}{\text{tan}\frac{C}{2}}$， $\mathit{AB}=10$，则 $\mathit{AC}+\mathit{BC}=$＿＿＿＿＿.

已知 $\angle A$为锐角，且 $4{\text{sin}}^{2}A-4\text{sin}A\text{cos}A+{\text{cos}}^{2}A=0$，则 $\text{tan}A=$＿＿＿＿＿.

如图，在 $\mathit{Rt}△\mathit{ABC}$中， $\angle A={90}^{\circ }$，作 $\mathit{BC}$的垂直平分线交 $\mathit{AC}$于点 $D$，延长 $\mathit{AC}$至点 $E$，使 $\mathit{CE}=\mathit{AB}$.

（1）若 $\mathit{AE}=1$，求 $△\mathit{ABD}$的周长;

（2）若 $\mathit{AD}=\frac{1}{3}\mathit{BD}$，求 $\text{tan}\angle \mathit{ABC}$的值.

如图，已知 $△\mathit{ABC}$中， $D$是 $\mathit{AB}$的中点， $\mathit{DC}\perp \mathit{AC},\text{cos}\angle \mathit{DCB}=\frac{4}{5}$，求 $\text{sin}A$的值.

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $C,D$是 $\odot O$上两点， $C$是 $\stackrel{⏜}{\mathit{BD}}$的中点，过点 $C$作 $\mathit{AD}$的垂线，垂足为 $E$，连接 $\mathit{AC}$交 $\mathit{BD}$于点 $F$.

（1）求证: $\mathit{CE}$是 $\odot O$的切线;

（2）若 $\frac{\mathit{DC}}{\mathit{DF}}=\sqrt{6}$，求 $\text{cos}\angle \mathit{ABD}$的值.

已知 $△\mathit{ABC}$ 的一边 AC 为关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2+\mathit{mx}+4=0$的两个正整数根之一，且另两边长为 $\mathit{BC}=4,\mathit{AB}=6$，求 $\text{cos}A$的值.

在 $△\mathit{ABC}$中， $a,b,c$分别是 $\angle A,\angle B,\angle C$的对边，且 $c=5\sqrt{3}$，若关于 $x$的方程 $\left(5\sqrt{3}+b\right)x^2+2\mathit{ax}+\left(5\sqrt{3}-b\right)=0$有两个相等的实数根，又方程 $2x^2-\left(10\text{sin}A\right)x+5\text{sin}A=0$的两实数根的平方和为 $6$，求 $△\mathit{ABC}$的面积.

如图，在 $△\mathit{ABC}$中， $\angle B={36}^{\circ },D$为 $\mathit{BC}$上一点， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=\mathit{BD}=1$.

（1）求 $\mathit{CD}$的长;

（2）利用此图，求 $\text{sin}{18}^{\circ }$的精确值.

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC},\mathit{BD}$相交于点 $O$，过点 $O$作 $\mathit{OE}\perp \mathit{AC}$交 $\mathit{AB}$于点 $E$，若 $\mathit{BC}=4,△\mathit{AOE}$的面积为 $6$，求 $\text{cos}\angle \mathit{BOE}$的值.