2021年江苏省常州市中考数学试卷（含答案与解析）

$\frac{1}{2}$ 的倒数是 $($ 　　 $)$

计算 ${\left(m^2\right)}^3$ 的结果是 $($ 　　 $)$

如图是某几何体的三视图，该几何体是 $($ 　　 $)$

观察如图所示脸谱图案，下列说法正确的是 $($ 　　 $)$

如图， $\mathit{BC}$ 是 $\odot O$ 的直径， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的弦，若 $\angle \mathit{AOC}=60°$ ，则 $\angle \mathit{OAB}$ 的度数是 $($ 　　 $)$

以下转盘分别被分成2个、4个、5个、6个面积相等的扇形，任意转动这4个转盘各1次．已知某转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率是 $\frac{1}{3}$ ，则对应的转盘是 $($ 　　 $)$

已知二次函数 $y=(a-1)x^2$ ，当 $x>0$ 时， $y$ 随 $x$ 增大而增大，则实数 $a$ 的取值范围是 $($ 　　 $)$

为规范市场秩序、保障民生工程，监管部门对某一商品的价格持续监控．该商品的价格 $y_1$ （元 $/$ 件）随时间 $t$ （天 $)$ 的变化如图所示，设 $y_2$ （元 $/$ 件）表示从第1天到第 $t$ 天该商品的平均价格，则 $y_2$ 随 $t$ 变化的图象大致是 $($ 　　 $)$

化简： $\sqrt[3]{27}=$　　．

计算： $2a^2-(a^2+2)=$　　．

分解因式： $x^2-4y^2=$　　．

近年来， $5G$在全球发展迅猛，中国成为这一领域基础设施建设、技术与应用落地的一大推动者．截至2021年3月底，中国已建成约819000座 $5G$基站，占全球 $70\%$以上．数据819000用科学记数法表示为 　　．

数轴上的点 $A$、 $B$分别表示 $-3$、2，则点 　　离原点的距离较近（填“ $A$”或“ $B$” $)$．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，四边形 $\mathit{OABC}$ 是平行四边形，其中点 $A$ 在 $x$ 轴正半轴上．若 $\mathit{BC}=3$ ，则点 $A$ 的坐标是 　　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中，点 $D$ 、 $E$ 分别在 $\mathit{BC}$ 、 $\mathit{AC}$ 上， $\angle B=40°$ ， $\angle C=60°$ ，若 $\mathit{DE}//\mathit{AB}$ ，则 $\angle \mathit{AED}=$ 　　 $°$ ．

中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中，分别取 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{AC}$ 的中点 $D$ 、 $E$ ，连接 $\mathit{DE}$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{AF}\perp \mathit{DE}$ ，垂足为 $F$ ，将 $\mathit{\Delta ABC}$ 分割后拼接成矩形 $\mathit{BCHG}$ ．若 $\mathit{DE}=3$ ， $\mathit{AF}=2$ ，则 $\mathit{\Delta ABC}$ 的面积是 　　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AC}=3$ ， $\mathit{BC}=4$ ， $D$ 、 $E$ 分别在 $\mathit{CA}$ 、 $\mathit{CB}$ 上，点 $F$ 在 $\mathit{\Delta ABC}$ 内．若四边形 $\mathit{CDFE}$ 是边长为1的正方形，则 $\sin \angle \mathit{FBA}=$ 　　．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\angle \mathit{CBA}=30°$ ， $\mathit{AC}=1$ ， $D$ 是 $\mathit{AB}$ 上一点（点 $D$ 与点 $A$ 不重合）．若在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 的直角边上存在4个不同的点分别和点 $A$ 、 $D$ 成为直角三角形的三个顶点，则 $\mathit{AD}$ 长的取值范围是 　　．

计算： $\sqrt{4}-{(-1)}^2-{(\pi -1)}^0+2^{-1}$．

解方程组和不等式组：

（1） $\left\{\begin{array}{c}x+y=0\\ 2x-y=3\end{array}\right.$ ；

（2） $\left\{\begin{array}{c}3x+6>0\\ x-2<-x\end{array}\right.$ ．

为降低处理成本，减少土地资源消耗，我国正在积极推进垃圾分类政策，引导居民根据"厨余垃圾"、"有害垃圾"、"可回收物"和"其他垃圾"这四类标准将垃圾分类处理．调查小组就某小区居民对垃圾分类知识的了解程度进行了抽样调查，并根据调查结果绘制成统计图．

（1）本次调查的样本容量是 　　；

（2）补全条形统计图；

（3）已知该小区有居民2000人，请估计该小区对垃圾分类知识"完全了解"的居民人数．

在3张相同的小纸条上，分别写上条件：①四边形 $\mathit{ABCD}$ 是菱形；②四边形 $\mathit{ABCD}$ 有一个内角是直角；③四边形 $\mathit{ABCD}$ 的对角线相等．将这3张小纸条做成3支签，放在一个不透明的盒子中．

（1）搅匀后从中任意抽出1支签，抽到条件①的概率是 　 　；

（2）搅匀后先从中任意抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中任意抽出1支签．四边形 $\mathit{ABCD}$ 同时满足抽到的2张小纸条上的条件，求四边形 $\mathit{ABCD}$ 一定是正方形的概率．

如图， $B$ 、 $F$ 、 $C$ 、 $E$ 是直线 $l$ 上的四点， $\mathit{AB}//\mathit{DE}$ ， $\mathit{AB}=\mathit{DE}$ ， $\mathit{BF}=\mathit{CE}$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABC}\cong \mathit{\Delta DEF}$ ；

（2）将 $\mathit{\Delta ABC}$ 沿直线 $l$ 翻折得到△ $A\text{'}\mathit{BC}$ ．

①用直尺和圆规在图中作出△ $A\text{'}\mathit{BC}$ （保留作图痕迹，不要求写作法）；

②连接 $A\text{'}D$ ，则直线 $A\text{'}D$ 与 $l$ 的位置关系是 　　．

为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙头．已知该景点在设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20吨水可以比原来多用5天．该景点在设施改造后平均每天用水多少吨？

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，一次函数 $y=\frac{1}{2}x+b$ 的图象分别与 $x$ 轴、 $y$ 轴交于点 $A$ 、 $B$ ，与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$ 的图象交于点 $C$ ，连接 $\mathit{OC}$ ．已知点 $A(-4,0)$ ， $\mathit{AB}=2\mathit{BC}$ ．

（1）求 $b$ 、 $k$ 的值；

（2）求 $\mathit{\Delta AOC}$ 的面积．

【阅读】

通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是"数形结合"思想的典型应用．

【理解】

（1）如图1， $\mathit{AC}\perp \mathit{BC}$ ， $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$ ，垂足分别为 $C$ 、 $D$ ， $E$ 是 $\mathit{AB}$ 的中点，连接 $\mathit{CE}$ ．已知 $\mathit{AD}=a$ ， $\mathit{BD}=b(0<a<b)$ ．

①分别求线段 $\mathit{CE}$ 、 $\mathit{CD}$ 的长（用含 $a$ 、 $b$ 的代数式表示）；

②比较大小： $\mathit{CE}$ 　 　 $\mathit{CD}$ （填" $<$ "、" $=$ "或" $>$ " $)$ ，并用含 $a$ 、 $b$ 的代数式表示该大小关系．

【应用】

（2）如图2，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，点 $M$ 、 $N$ 在反比例函数 $y=\frac{1}{x}(x>0)$ 的图象上，横坐标分别为 $m$ 、 $n$ ．设 $p=m+n$ ， $q=\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$ ，记 $l=\frac{1}{4}\mathit{pq}$ ．

①当 $m=1$ ， $n=2$ 时， $l=$ 　　；当 $m=3$ ， $n=3$ 时， $l=$ 　　；

②通过归纳猜想，可得 $l$ 的最小值是 　　．请根据图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，对于 $A$ 、 $A\text{'}$ 两点，若在 $y$ 轴上存在点 $T$ ，使得 $\angle \mathit{ATA}\text{'}=90°$ ，且 $\mathit{TA}=\mathit{TA}\text{'}$ ，则称 $A$ 、 $A\text{'}$ 两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点 $M(-2,0)$ 、 $N(-1,0)$ ，点 $Q(m,n)$ 在一次函数 $y=-2x+1$ 的图象上．

（1）①如图，在点 $B(2,0)$ 、 $C(0,-1)$ 、 $D(-2,-2)$ 中，点 $M$ 的关联点是 　 $B$ 　（填" $B$ "、" $C$ "或" $D$ " $)$ ；

②若在线段 $\mathit{MN}$ 上存在点 $P(1,1)$ 的关联点 $P\text{'}$ ，则点 $P\text{'}$ 的坐标是 　　；

（2）若在线段 $\mathit{MN}$ 上存在点 $Q$ 的关联点 $Q\text{'}$ ，求实数 $m$ 的取值范围；

（3）分别以点 $E(4,2)$ 、 $Q$ 为圆心，1为半径作 $\odot E$ 、 $\odot Q$ ．若对 $\odot E$ 上的任意一点 $G$ ，在 $\odot Q$ 上总存在点 $G\text{'}$ ，使得 $G$ 、 $G\text{'}$ 两点互相关联，请写出点 $Q$ 的坐标．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，正比例函数 $y=\mathit{kx}(k\ne 0)$ 和二次函数 $y=-\frac{1}{4}{x}^2+\mathit{bx}+3$ 的图象都经过点 $A(4,3)$ 和点 $B$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{OA}$ 的垂线交 $x$ 轴于点 $C$ ． $D$ 是线段 $\mathit{AB}$ 上一点（点 $D$ 与点 $A$ 、 $O$ 、 $B$ 不重合）， $E$ 是射线 $\mathit{AC}$ 上一点，且 $\mathit{AE}=\mathit{OD}$ ，连接 $\mathit{DE}$ ，过点 $D$ 作 $x$ 轴的垂线交抛物线于点 $F$ ，以 $\mathit{DE}$ 、 $\mathit{DF}$ 为邻边作 $▱\mathit{DEGF}$ ．

（1）填空： $k=$ 　 　， $b=$ 　　；

（2）设点 $D$ 的横坐标是 $t(t>0)$ ，连接 $\mathit{EF}$ ．若 $\angle \mathit{FGE}=\angle \mathit{DFE}$ ，求 $t$ 的值；

（3）过点 $F$ 作 $\mathit{AB}$ 的垂线交线段 $\mathit{DE}$ 于点 $P$ 若 $S_{\mathit{\Delta DFP}}=\frac{1}{3}{S}_{▱\mathit{DEGF}}$ ，求 $\mathit{OD}$ 的长．