2021年吉林省长春市中考数学试卷（含答案与解析）

$-(-2)$ 的值为 $($ 　　 $)$

据报道，我省今年前4个月货物贸易进出口总值为52860000000元人民币，比去年同期增长 $28.2\%$ ．其中52860000000这个数用科学记数法表示为 $($ 　　 $)$

如图是一个几何体的三视图，这个几何体是 $($ 　　 $)$

关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-6x+m=0$ 有两个不相等的实数根，则 $m$ 的值可能是 $($ 　　 $)$

如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知 $A$ 、 $B$ 两点间的距离为30米， $\angle A=\alpha$ ，则缆车从 $A$ 点到达 $B$ 点，上升的高度 $(\mathit{BC}$ 的长）为 $($ 　　 $)$

如图， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径， $\mathit{BC}$ 是 $\odot O$ 的切线，若 $\angle \mathit{BAC}=35°$ ，则 $\angle \mathit{ACB}$ 的大小为 $($ 　　 $)$

在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{BAC}=90°$ ， $\mathit{AB}\ne \mathit{AC}$ ．用无刻度的直尺和圆规在 $\mathit{BC}$ 边上找一点 $D$ ，使 $\mathit{\Delta ACD}$ 为等腰三角形．下列作法不正确的是 $($ 　　 $)$

如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ 、 $B$ 在函数 $y=\frac{k}{x}(k>0,x>0)$ 的图象上，过点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线，与函数 $y=-\frac{k}{x}(x>0)$ 的图象交于点 $C$ ，连结 $\mathit{BC}$ 交 $x$ 轴于点 $D$ ．若点 $A$ 的横坐标为1， $\mathit{BC}=3\mathit{BD}$ ，则点 $B$ 的横坐标为 $($ 　　 $)$

分解因式： $a^2+2a=$　　．

不等式组 $\left\{\begin{array}{c}2x>-1\\ x⩽1\end{array}\right.$的所有整数解为 　　．

将一副三角板按如图所示的方式摆放，点 $D$ 在边 $\mathit{AC}$ 上， $\mathit{BC}//\mathit{EF}$ ，则 $\angle \mathit{ADE}$ 的大小为 　　度．

如图是圆弧形状的铁轨示意图，半径 $\mathit{OA}$ 的长度为200米，圆心角 $\angle \mathit{AOB}=90°$ ，则这段铁轨的长度为 　　米．（铁轨的宽度忽略不计，结果保留 $\pi )$

如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 $\mathit{AOB}$ 的斜边 $\mathit{OA}$ 在 $y$ 轴上， $\mathit{OA}=2$ ，点 $B$ 在第一象限．标记点 $B$ 的位置后，将 $\mathit{\Delta AOB}$ 沿 $x$ 轴正方向平移至△ $A_1{O}_1{B}_1$ 的位置，使 $A_1{O}_1$ 经过点 $B$ ，再标记点 $B_1$ 的位置，继续平移至△ $A_2{O}_2{B}_2$ 的位置，使 $A_2{O}_2$ 经过点 $B_1$ ，此时点 $B_2$ 的坐标为 　　．

如图，在平面直角坐标系中，点 $A(2,4)$ 在抛物线 $y=a{x}^2$ 上，过点 $A$ 作 $y$ 轴的垂线，交抛物线于另一点 $B$ ，点 $C$ 、 $D$ 在线段 $\mathit{AB}$ 上，分别过点 $C$ 、 $D$ 作 $x$ 轴的垂线交抛物线于 $E$ 、 $F$ 两点．当四边形 $\mathit{CDFE}$ 为正方形时，线段 $\mathit{CD}$ 的长为 　　．

先化简，再求值： $(a+2)(a-2)+a(1-a)$，其中 $a=\sqrt{5}+4$．

在一个不透明的口袋中装有三个小球，分别标记数字1、2、3，每个小球除数字不同外其余均相同．小明和小亮玩摸球游戏，两人各摸一个球，谁摸到的数字大谁获胜，摸到相同数字记为平局．小明从口袋中摸出一个小球记下数字后放回并搅匀，小亮再从口袋中摸出一个小球．用画树状图（或列表）的方法，求小明获胜的概率．

为助力乡村发展，某购物平台推出有机大米促销活动，其中每千克有机大米的售价仅比普通大米多2元，用420元购买的有机大米与用300元购买的普通大米的重量相同．求每千克有机大米的售价为多少元？

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$ 中，对角线 $\mathit{AC}$ 与 $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ， $\mathit{AC}=4$ ， $\mathit{BD}=8$ ，点 $E$ 在边 $\mathit{AD}$ 上， $\mathit{AE}=\frac{1}{3}\mathit{AD}$ ，连结 $\mathit{BE}$ 交 $\mathit{AC}$ 于点 $M$ ．

（1）求 $\mathit{AM}$ 的长．

（2） $\tan \angle \mathit{MBO}$ 的值为 　　．

稳定的粮食产量是人民幸福生活的基本保障，为了解粮食产量情况，小明查阅相关资料得到如下信息：长春市2020年的粮食总产量达到960万吨，比上年增长约 $9\%$ ．其中玉米产量增长约 $12\%$ ，水稻产量下降约 $2\%$ ，其他农作物产量下降约 $10\%$ ．

根据以上信息回答下列问题：

（1）2020年玉米产量比2019年玉米产量多 　　万吨．

（2）扇形统计图中 $n$ 的值为 　　．

（3）计算2020年水稻的产量．

（4）小明发现如果这样计算2020年粮食总产量的年增长率： $\frac{12\%+(-2\%)+(-10\%)}{3}=0$ ，就与2020年粮食总产量比上年增长约 $9\%$ 不符，请说明原因．

图①、图②、图③均是 $4\times 4$ 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点 $M$ ，按下列要求作图：

（1）在图①中，连结 $\mathit{MA}$ 、 $\mathit{MB}$ ，使 $\mathit{MA}=\mathit{MB}$ ；

（2）在图②中，连结 $\mathit{MA}$ 、 $\mathit{MB}$ 、 $\mathit{MC}$ ，使 $\mathit{MA}=\mathit{MB}=\mathit{MC}$ ；

（3）在图③中，连结 $\mathit{MA}$ 、 $\mathit{MC}$ ，使 $\angle \mathit{AMC}=2\angle \mathit{ABC}$ ．

《九章算术》中记载，浮箭漏（图① $)$出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校 $\mathit{STEAM}$小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：

【实验观察】实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表：

【探索发现】①建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间 $x$．纵轴表示箭尺读数 $y$，描出以表格中数据为坐标的各点．

②观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由．

【结论应用】应用上述发现的规律估算：

①供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？

②如果本次实验记录的开始时间是上午 $8:00$，那当箭尺读数为90厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）

实践与探究

操作一：如图①，已知正方形纸片 $\mathit{ABCD}$ ，将正方形纸片沿过点 $A$ 的直线折叠，使点 $B$ 落在正方形 $\mathit{ABCD}$ 的内部，点 $B$ 的对应点为点 $M$ ，折痕为 $\mathit{AE}$ ，再将纸片沿过点 $A$ 的直线折叠，使 $\mathit{AD}$ 与 $\mathit{AM}$ 重合，折痕为 $\mathit{AF}$ ，则 $\angle \mathit{EAF}=$ 　　度．

操作二：如图②，将正方形纸片沿 $\mathit{EF}$ 继续折叠，点 $C$ 的对应点为点 $N$ ．我们发现，当点 $E$ 的位置不同时，点 $N$ 的位置也不同．当点 $E$ 在 $\mathit{BC}$ 边的某一位置时，点 $N$ 恰好落在折痕 $\mathit{AE}$ 上，则 $\angle \mathit{AEF}=$ 　　度．

在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：

（1）设 $\mathit{AM}$ 与 $\mathit{NF}$ 的交点为点 $P$ ．求证： $\mathit{\Delta ANP}\cong \mathit{\Delta FNE}$ ；

（2）若 $\mathit{AB}=\sqrt{3}$ ，则线段 $\mathit{AP}$ 的长为 　　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle C=90°$ ， $\mathit{AB}=5$ ， $\mathit{BC}=3$ ，点 $D$ 为边 $\mathit{AC}$ 的中点．动点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿折线 $\mathit{AB}-\mathit{BC}$ 以每秒1个单位长度的速度向点 $C$ 运动，当点 $P$ 不与点 $A$ 、 $C$ 重合时，连结 $\mathit{PD}$ ．作点 $A$ 关于直线 $\mathit{PD}$ 的对称点 $A\text{'}$ ，连结 $A\text{'}D$ 、 $A\text{'}A$ ．设点 $P$ 的运动时间为 $t$ 秒．

（1）线段 $\mathit{AD}$ 的长为 　　；

（2）用含 $t$ 的代数式表示线段 $\mathit{BP}$ 的长；

（3）当点 $A\text{'}$ 在 $\mathit{\Delta ABC}$ 内部时，求 $t$ 的取值范围；

（4）当 $\angle \mathit{AA}\text{'}D$ 与 $\angle B$ 相等时，直接写出 $t$ 的值．

在平面直角坐标系中，抛物线 $y=2{(x-m)}^2+2m(m$ 为常数）的顶点为 $A$ ．

（1）当 $m=\frac{1}{2}$ 时，点 $A$ 的坐标是 　　，抛物线与 $y$ 轴交点的坐标是 　　；

（2）若点 $A$ 在第一象限，且 $\mathit{OA}=\sqrt{5}$ ，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而减小时 $x$ 的取值范围；

（3）当 $x⩽2m$ 时，若函数 $y=2{(x-m)}^2+2m$ 的最小值为3，求 $m$ 的值；

（4）分别过点 $P(4,2)$ 、 $Q(4,2-2m)$ 作 $y$ 轴的垂线，交抛物线的对称轴于点 $M$ 、 $N$ ．当抛物线 $y=2{(x-m)}^2+2m$ 与四边形 $\mathit{PQNM}$ 的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点 $B$ 、点 $C$ ，且点 $B$ 的纵坐标大于点 $C$ 的纵坐标．若点 $B$ 到 $y$ 轴的距离与点 $C$ 到 $x$ 轴的距离相等，直接写出 $m$ 的值．