2017年湖南省长沙市中考数学试卷

下列实数中，为有理数的是 $($　　 $)$

A． $\sqrt{3}$B． $\pi$C． $\sqrt[3]{2}$D．1

下列计算正确的是 $($　　 $)$

A． $\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$B． $a+2a=2a^2$

C． $x(1+y)=x+\mathit{xy}$D． ${\left(m{n}^2\right)}^3=m{n}^6$

据国家旅游局统计，2017年端午小长假全国各大景点共接待游客约为82600000人次，数据82600000用科学记数法表示为 $($　　 $)$

A． $0.826\times {10}^6$B． $8.26\times {10}^7$

C． $82.6\times {10}^6$D． $8.26\times {10}^8$

在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 $($　　 $)$

A．直角三角形B．正五边形

C．正方形D．平行四边形

一个三角形的三个内角的度数之比为 $1:2:3$，则这个三角形一定是 $($　　 $)$

A．锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．等腰直角三角形

下列说法正确的是 $($　　 $)$

A．检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查

B．可能性是 $1\%$的事件在一次试验中一定不会发生

C．数据3，5，4，1， $-2$的中位数是4

D．“367人中有2人同月同日出生”为必然事件

某几何体的三视图如图所示，因此几何体是 $($　　 $)$

A．长方形B．圆柱C．球D．正三棱柱

抛物线 $y=2{(x-3)}^2+4$顶点坐标是 $($　　 $)$

A． $(3,4)$B． $(-3,4)$C． $(3,-4)$D． $(2,4)$

如图，已知直线 $a//b$，直线 $c$分别与 $a$， $b$相交， $\angle 1=110°$，则 $\angle 2$的度数为 $($　　 $)$

A． $60°$B． $70°$C． $80°$D． $110°$

如图，菱形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$的长分别为 $6\mathit{cm}$， $8\mathit{cm}$，则这个菱形的周长为 $($　　 $)$

A． $5\mathit{cm}$B． $10\mathit{cm}$C． $14\mathit{cm}$D． $20\mathit{cm}$

中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是，有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为 $($　　 $)$

A．24里B．12里C．6里D．3里

如图，将正方形 $\mathit{ABCD}$折叠，使顶点 $A$与 $\mathit{CD}$边上的一点 $H$重合 $(H$不与端点 $C$， $D$重合），折痕交 $\mathit{AD}$于点 $E$，交 $\mathit{BC}$于点 $F$，边 $\mathit{AB}$折叠后与边 $\mathit{BC}$交于点 $G$．设正方形 $\mathit{ABCD}$的周长为 $m$， $\mathit{\Delta CHG}$的周长为 $n$，则 $\frac{n}{m}$的值为 $($　　 $)$

A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$B． $\frac{1}{2}$

C． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$D．随 $H$点位置的变化而变化

分解因式： $2a^2+4a+2=$　　．

方程组 $\left\{\begin{array}{c}x+y=1\\ 3x-y=3\end{array}\right.$的解是　　．

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径，弦 $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$于点 $E$，已知 $\mathit{CD}=6$， $\mathit{EB}=1$，则 $\odot O$的半径为　．

如图， $\mathit{\Delta ABO}$三个顶点的坐标分别为 $A(2,4)$， $B(6,0)$， $O(0,0)$，以原点 $O$为位似中心，把这个三角形的边长缩小为原来的 $\frac{1}{2}$，可以得到△ $A\text{'}B\text{'}O$，已知点 $B\text{'}$的坐标是 $(3,0)$，则点 $A\text{'}$的坐标是　　．

甲、乙两名同学进行跳高测试，每人10次跳高的平均成绩恰好是1.6米，方差分别是 $S_{甲}^2=1.2$， $S_{乙}^2=0.5$，则在本次测试中，　　同学的成绩更稳定（填“甲”或“乙” $)$

如图，点 $M$是函数 $y=\sqrt{3}x$与 $y=\frac{k}{x}$的图象在第一象限内的交点， $\mathit{OM}=4$，则 $k$的值为　　．

计算： $|-3|+{(\pi -2017)}^0-2\sin 30°+{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}$．

解不等式组 $\left\{\begin{array}{c}2x⩾-9-x\\ 5x-1>3(x+1)\end{array}\right.$，并把它的解集在数轴上表示出来．

为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表．

请根据所给信息，解答以下问题：

（1）表中 $a=$　　， $b=$　　；

（2）请计算扇形统计图中 $B$组对应扇形的圆心角的度数；

（3）已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率．

为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在 $A$处测得灯塔 $P$在北偏东 $60°$方向上，继续航行1小时到达 $B$处，此时测得灯塔 $P$在北偏东 $30°$方向上．

（1）求 $\angle \mathit{APB}$的度数；

（2）已知在灯塔 $P$的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？

如图， $\mathit{AB}$与 $\odot O$相切于点 $C$， $\mathit{OA}$， $\mathit{OB}$分别交 $\odot O$于点 $D$， $E$， $\stackrel{̂}{\mathit{CD}}=\stackrel{̂}{\mathit{CE}}$

（1）求证： $\mathit{OA}=\mathit{OB}$；

（2）已知 $\mathit{AB}=4\sqrt{3}$， $\mathit{OA}=4$，求阴影部分的面积．

自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用16000元采购 $A$型商品的件数是用7500元采购 $B$型商品的件数的2倍，一件 $A$型商品的进价比一件 $B$型商品的进价多10元．

（1）求一件 $A$， $B$型商品的进价分别为多少元？

（2）若该欧洲客商购进 $A$， $B$型商品共250件进行试销，其中 $A$型商品的件数不大于 $B$型的件数，且不小于80件．已知 $A$型商品的售价为240元 $/$件， $B$型商品的售价为220元 $/$件，且全部售出．设购进 $A$型商品 $m$件，求该客商销售这批商品的利润 $v$与 $m$之间的函数关系式，并写出 $m$的取值范围；

（3）在（2）的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件 $A$型商品，就从一件 $A$型商品的利润中捐献慈善资金 $a$元，求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益．

若三个非零实数 $x$， $y$， $z$满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数 $x$， $y$， $z$构成“和谐三组数”．

（1）实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由；

（2）若 $M(t,y_1)$， $N(t+1,y_2)$， $R(t+3,y_3)$三点均在函数 $y=\frac{k}{x}(k$为常数， $k\ne 0)$的图象上，且这三点的纵坐标 $y_1$， $y_2$， $y_3$构成“和谐三组数”，求实数 $t$的值；

（3）若直线 $y=2\mathit{bx}+2c(\mathit{bc}\ne 0)$与 $x$轴交于点 $A(x_1$， $0)$，与抛物线 $y=a{x}^2+3\mathit{bx}+3c(a\ne 0)$交于 $B(x_2$， $y_2)$， $C(x_3$， $y_3)$两点．

①求证： $A$， $B$， $C$三点的横坐标 $x_1$， $x_2$， $x_3$构成“和谐三组数”；

②若 $a>2b>3c$， $x_2=1$，求点 $P(\frac{c}{a}$， $\frac{b}{a})$与原点 $O$的距离 $\mathit{OP}$的取值范围．

如图，抛物线 $y=m{x}^2-16\mathit{mx}+48m(m>0)$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点（点 $B$在点 $A$左侧），与 $y$轴交于点 $C$，点 $D$是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接 $\mathit{OD}$、 $\mathit{BD}$、 $\mathit{AC}$、 $\mathit{AD}$，延长 $\mathit{AD}$交 $y$轴于点 $E$．

（1）若 $\mathit{\Delta OAC}$为等腰直角三角形，求 $m$的值；

（2）若对任意 $m>0$， $C$、 $E$两点总关于原点对称，求点 $D$的坐标（用含 $m$的式子表示）；

（3）当点 $D$运动到某一位置时，恰好使得 $\angle \mathit{ODB}=\angle \mathit{OAD}$，且点 $D$为线段 $\mathit{AE}$的中点，此时对于该抛物线上任意一点 $P(x_0$， $y_0)$总有 $n+\frac{1}{6}⩾-4\sqrt{3}m{y}_0^2-12\sqrt{3}{y}_0-50$成立，求实数 $n$的最小值．