2019年湖北省随州市中考数学试卷

$-3$ 的绝对值为 $($ 　　 $)$

地球的半径约为 $6370000m$ ，用科学记数法表示正确的是 $($ 　　 $)$

如图，直线 $l_l//l_2$ ，直角三角板的直角顶点 $C$ 在直线 $l_1$ 上，一锐角顶点 $B$ 在直线 $l_2$ 上，若 $\angle 1=35°$ ，则 $\angle 2$ 的度数是 $($ 　　 $)$

下列运算正确的是 $($ 　　 $)$

某校男子篮球队10名队员进行定点投篮练习，每人投篮10次，他们投中的次数统计如表：

则这些队员投中次数的众数、中位数和平均数分别为 $($ 　　 $)$

如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为 $($ 　　 $)$

第一次"龟兔赛跑"，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气，决定与乌龟再比一次，并且骄傲地说，这次我一定不睡觉，让乌龟先跑一段距离我再去追都可以赢．结果兔子又一次输掉了比赛，则下列函数图象可以体现这次比赛过程的是 $($ 　　 $)$

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $E$ 为 $\mathit{BC}$ 的中点， $\mathit{BD}$ ， $\mathit{AE}$ 交于点 $O$ ，若随机向平行四边形 $\mathit{ABCD}$ 内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为 $($ 　　 $)$

"分母有理化"是我们常用的一种化简的方法，如： $\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\frac{(2+\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=7+4\sqrt{3}$ ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于 $\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}$ ，设 $x=\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}$ ，易知 $\sqrt{3+\sqrt{5}}>\sqrt{3-\sqrt{5}}$ ，故 $x>0$ ，由 $x^2={(\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}})}^2=3+\sqrt{5}+3-\sqrt{5}-2\sqrt{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}=2$ ，解得 $x=\sqrt{2}$ ，即 $\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}=\sqrt{2}$ ．根据以上方法，化简 $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\sqrt{6-3\sqrt{3}}-\sqrt{6+3\sqrt{3}}$ 后的结果为 $($ 　　 $)$

如图所示，已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ， $\mathit{OA}=\mathit{OC}$ ，对称轴为直线 $x=1$ ，则下列结论：① $\mathit{abc}<0$ ；② $a+\frac{1}{2}b+\frac{1}{4}c>0$ ；③ $\mathit{ac}+b+1=0$ ；④ $2+c$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c=0$ 的一个根．其中正确的有 $($ 　　 $)$

计算：${(\pi -2019)}^0-2\cos 60°=$　　．

如图，点$A$，$B$，$C$在$\odot O$上，点$C$在优弧$\widehat{\mathit{AB}}$上，若$\angle \mathit{OBA}=50°$，则$\angle C$的度数为　　．

2017年，随州学子尤东梅参加《最强大脑》节目，成功完成了高难度的项目挑战，展现了惊人的记忆力．在2019年的《最强大脑》节目中，也有很多具有挑战性的比赛项目，其中《幻圆》这个项目充分体现了数学的魅力．如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，则图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为　　和　　．

如图，在平面直角坐标系中，$\text{Rt}\Delta \text{ABC}$的直角顶点$C$的坐标为$(1,0)$，点$A$在$x$轴正半轴上，且$\mathit{AC}=2$．将$\mathit{\Delta ABC}$先绕点$C$逆时针旋转$90°$，再向左平移3个单位，则变换后点$A$的对应点的坐标为　　．

如图，矩形$\mathit{OABC}$的顶点$A$，$C$分别在$y$轴、$x$轴的正半轴上，$D$为$\mathit{AB}$的中点，反比例函数$y=\frac{k}{x}(k>0)$的图象经过点$D$，且与$\mathit{BC}$交于点$E$，连接$\mathit{OD}$，$\mathit{OE}$，$\mathit{DE}$，若$\mathit{\Delta ODE}$的面积为3，则$k$的值为　　．

如图，已知正方形$\mathit{ABCD}$的边长为$a$，$E$为$\mathit{CD}$边上一点（不与端点重合），将$\mathit{\Delta ADE}$沿$\mathit{AE}$对折至$\mathit{\Delta AFE}$，延长$\mathit{EF}$交边$\mathit{BC}$于点$G$，连接$\mathit{AG}$，$\mathit{CF}$．

给出下列判断：

①$\angle \mathit{EAG}=45°$；

②若$\mathit{DE}=\frac{1}{3}a$，则$\mathit{AG}//\mathit{CF}$；

③若$E$为$\mathit{CD}$的中点，则$\mathit{\Delta GFC}$的面积为$\frac{1}{10}{a}^2$；

④若$\mathit{CF}=\mathit{FG}$，则$\mathit{DE}=(\sqrt{2}-1)a$；

⑤$\mathit{BG}·\mathit{DE}+\mathit{AF}·\mathit{GE}=a^2$．

其中正确的是　　．（写出所有正确判断的序号）

解关于$x$的分式方程：$\frac{9}{3+x}=\frac{6}{3-x}$．

已知关于$x$的一元二次方程$x^2-(2k+1)x+k^2+1=0$有两个不相等的实数根$x_1$，$x_2$．

（1）求$k$的取值范围；

（2）若$x_1+x_2=3$，求$k$的值及方程的根．

“校园安全”越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：

（1）接受问卷调查的学生共有　　人，条形统计图中$m$的值为　　；

（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为　　；

（3）若该中学共有学生1800人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为　　人；

（4）若从对校园安全知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．

在一次海上救援中，两艘专业救助船$A$，$B$同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船$B$在$A$的正北方向，事故渔船$P$在救助船$A$的北偏西$30°$方向上，在救助船$B$的西南方向上，且事故渔船$P$与救助船$A$相距120海里．

（1）求收到求救讯息时事故渔船$P$与救助船$B$之间的距离；

（2）若救助船$A$，$B$分别以40海里$/$小时、30海里$/$小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船$P$处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．

如图，在$\mathit{\Delta ABC}$中，$\mathit{AB}=\mathit{AC}$，以$\mathit{AB}$为直径的$\odot O$分别交$\mathit{AC}$，$\mathit{BC}$于点$D$，$E$，点$F$在$\mathit{AC}$的延长线上，且$\angle \mathit{BAC}=2\angle \mathit{CBF}$．

（1）求证：$\mathit{BF}$是$\odot O$的切线；

（2）若$\odot O$的直径为3，$\sin \angle \mathit{CBF}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，求$\mathit{BC}$和$\mathit{BF}$的长．

某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元$/$千克，每天的产量$p$（百千克）与销售价格$x$（元$/$千克）满足函数关系式$p=\frac{1}{2}x+8$，从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场需求量$q$（百千克）与销售价格$x$（元$/$千克）满足一次函数关系，部分数据如表：

已知按物价部门规定销售价格$x$不低于2元$/$千克且不高于10元$/$千克．

（1）直接写出$q$与$x$的函数关系式，并注明自变量$x$的取值范围；

（2）当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，而当每天的产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃．

①当每天的半成品食材能全部售出时，求$x$的取值范围；

②求厂家每天获得的利润$y$（百元）与销售价格$x$的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，当$x$为　　元$/$千克时，利润$y$有最大值；若要使每天的利润不低于24（百元），并尽可能地减少半成品食材的浪费，则$x$应定为　　元$/$千克．

若一个两位数十位、个位上的数字分别为$m$，$n$，我们可将这个两位数记为$\overline{\mathit{mn}}$，易知$\overline{\mathit{mn}}=10m+n$；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如$\overline{\mathit{abc}}=100a+10b+c$．

【基础训练】

（1）解方程填空：

①若$\overline{2x}+\overline{x3}=45$，则$x=$　　；

②若$\overline{7y}-\overline{y8}=26$，则$y=$　　；

③若$\overline{t93}+\overline{5t8}=\overline{13t1}$，则$t=$　　；

【能力提升】

（2）交换任意一个两位数$\overline{\mathit{mn}}$的个位数字与十位数字，可得到一个新数$\overline{\mathit{nm}}$，则$\overline{\mathit{mn}}+\overline{\mathit{nm}}$一定能被　　整除，$\overline{\mathit{mn}}-\overline{\mathit{nm}}$一定能被　　整除，$\overline{\mathit{mn}}·\overline{\mathit{nm}}-\mathit{mn}$一定能被　　整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）

【探索发现】

（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用$532-235=297)$，再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．

①该“卡普雷卡尔黑洞数”为　　；

②设任选的三位数为$\overline{\mathit{abc}}$（不妨设$a>b>c)$，试说明其均可产生该黑洞数．

如图1，在平面直角坐标系中，点$O$为坐标原点，抛物线$y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与$y$轴交于点$A(0,6)$，与$x$轴交于点$B(-2,0)$，$C(6,0)$．

（1）直接写出抛物线的解析式及其对称轴；

（2）如图2，连接$\mathit{AB}$，$\mathit{AC}$，设点$P(m,n)$是抛物线上位于第一象限内的一动点，且在对称轴右侧，过点$P$作$\mathit{PD}\perp \mathit{AC}$于点$E$，交$x$轴于点$D$，过点$P$作$\mathit{PG}//\mathit{AB}$交$\mathit{AC}$于点$F$，交$x$轴于点$G$．设线段$\mathit{DG}$的长为$d$，求$d$与$m$的函数关系式，并注明$m$的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若$\mathit{\Delta PDG}$的面积为$\frac{49}{12}$，

①求点$P$的坐标；

②设$M$为直线$\mathit{AP}$上一动点，连接$\mathit{OM}$，直线$\mathit{OM}$交直线$\mathit{AC}$于点$S$，则点$M$在运动过程中，在抛物线上是否存在点$R$，使得$\mathit{\Delta ARS}$为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点$M$及其对应的点$R$的坐标；若不存在，请说明理由．