2015年全国统一高考理科数学试卷（四川卷）

设集合 $A=\left\{x\right|(x+1)(x-2)<0\}$，集合 $B=\left\{x\right|1<x<3\}$，则 $A\cup B=$（   ）

设 $i$是虚数单位，则复数 $i^3-\frac{2}{i}$=（  ）

执行如图所示的程序框图，输出 $S$的值是（）

下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（）

过双曲线 $x^2-\frac{y^2}{3}=1$的右焦点且与 $x$轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于 $A,B$两点，则 $\left|AB\right|=$（  ）

用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（  ）

设四边形 $ABCD$为平行四边形， $\left|\stackrel{\rightharpoonup }{AB}\right|=6$， $\left|\stackrel{\rightharpoonup }{AD}\right|=4$.若点 $M$，N满足 $\stackrel{\rightharpoonup }{BM}=3\stackrel{\rightharpoonup }{MC}$， $\stackrel{\rightharpoonup }{DN}=2\stackrel{\rightharpoonup }{NC}$，则 $\stackrel{\rightharpoonup }{AM}·\stackrel{\rightharpoonup }{NM}$ $=$（）

设 $a,b$都是不等于1的正数，则" $3^a>3^b>3$"是" ${\log }_{a}3<{\log }_{b}3$"的 （  ）

如果函数 $f\left(x\right)=\frac{1}{2}(m-2)x^2+(n-8)x+1(m\ge 0)$在区间 $\left[\frac{1}{2},2\right]$上单调递减，则 $mn$的最大值为（  ）

设直线l与抛物线 $y^2=4x$相交于 $A$， $B$两点，与圆 ${\left(x-5\right)}^2+y^2=r^2\left(r>0\right)$相切于点 $M$，且 $M$为线段 $AB$的中点.若这样的直线l恰有4条，则 $r$的取值范围是（）

在 $(2x-1{)}^5$的展开式中，含 $x^2$的项的系数是（用数字作答）.

$\sin {15}^{°}+\sin {75}^{°}=$.

某食品的保鲜时间 $y$(单位:小时)与储存温度 $x$(单位: ${°}^{}C$)满足函数关系 $y=e^{kx+b}$( $e=2.718...$为自然对数的底数, $k、b$为常数).若该食品在 $0^{°}C$的保鲜时间设计192小时,在 ${22}^{°}C$的保鲜时间是48小时,则该食品在的 ${33}^{°}C$保鲜时间是小时.

如图，四边形 $ABCD$和 $ADPQ$均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点 $M$在线段 $PQ$上, $E、F$分别为 $AB、BC$的中点.设异面直线 $EM$与 $AF$所成的角为 $\theta$,则 $\cos \theta$的最大值为.

已知函数 $f\left(x\right)=2^x$， $g\left(x\right)=x^2+ax$（其中 $a\in R$）.对于不相等的实数 $x_1,x_2$，设 $m=\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}$， $n=\frac{g\left(x_1\right)-g\left(x_2\right)}{x_1-x_2}$.
现有如下命题：
（1）对于任意不相等的实数 $x_1,x_2$，都有 $m>0$；
（2）对于任意的a及任意不相等的实数 $x_1,x_2$，都有 $n>0$；
（3）对于任意的a，存在不相等的实数 $x_1,x_2$，使得 $m=n$；
（4）对于任意的a，存在不相等的实数 $x_1,x_2$，使得 $m=-n$.
其中的真命题有（写出所有真命题的序号）.

设数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和 $S_n=2a_n-a_1$，且 $a_1,a_2+1,a_3$成等差数列.
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$的通项公式；
（2）记数列 $\left\{\frac{1}{a_n}\right\}$的前 $n$项和 $T_n$，求得 $\left|T_n-1\right|<\frac{1}{1000}$成立的 $n$的最小值.

某市 $A,B$两所中学的学生组队参加辩论赛， $A$中学推荐3名男生，2名女生， $B$中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队
（1）求 $A$中学至少有1名学生入选代表队的概率.
（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设 $X$表示参赛的男生人数，求 $X$得分布列和数学期望.

一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设 $BC$的中点为 $M$， $GH$的中点为 $N$

（1）请将字母 $F,G,H$标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）
（2）证明：直线 $MN\parallel$平面 $BDH$

（3）求二面角 $A-EG-M$的余弦值

如图， $A,B,C,D$为平面四边形 $ABCD$的四个内角.

（1）证明： $\tan \frac{A}{2}=\frac{1-\cos A}{\sin A}$,

（2）若 $A+C={180}^{°},AB=6,BC=3,CD=4,AD=5$求 $\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{C}{2}+\tan \frac{D}{2}$的值.

如图，椭圆 $E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，过点 $P(0,1)$的动直线 $l$与椭圆相交于 $A,B$两点，当直线 $l$平行与 $x$轴时，直线 $l$被椭圆 $E$截得的线段长为 $2\sqrt{2}$.

（1）求椭圆 $E$的方程；
（2）在平面直角坐标系 $xOy$中，是否存在与点 $P$不同的定点 $Q$，使得 $\frac{\left|QA\right|}{\left|QB\right|}=\frac{\left|PA\right|}{\left|PB\right|}$恒成立？若存在，求出点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由.

已知函数 $f\left(x\right)=-2(x+a)\ln x+x^2-2ax-2a^2+a$，其中 $a>0$.
（1）设 $g\left(x\right)$是 $f\left(x\right)$的导函数，评论 $g\left(x\right)$的单调性；
（2）证明：存在 $a\in (0,1)$，使得 $f\left(x\right)\ge 0$在区间 $(1,+\infty )$内恒成立，且 $f\left(x\right)=0$在 $(1,+\infty )$内有唯一解.