2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学

已知集合$A=\{-2,-1,0,1,2\},B=\left\{\overline{)x}\right(x-1\left)\right(x+2)<0\}$,则$A\cap B=$（   ）

若 $a$为实数且 $(2+ai)(a-2i)=-4i$，则 $a=$（    ）

根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是（）

已知等比数列$\left\{a_n\right\}$满足$a_1$=3，$a_1+a_3+a_5$=21，则$a_3+a_s+a_7$= （）

设函数$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}1+{\log }_2\left(2-x\right),x<1\\ 2^{x-1},x\ge 1\end{array}\right.$,$f\left(-2\right)+f\left({\log }_{2}12\right)=$（）

一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）

过三点 $A(1,3),B(4,2),C(1,-7)$的圆交 $y$轴于 $M,N$两点，则 $\left|MN\right|=$（    ）

右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的"更相减损术"．执行该程序框图，若输入$a,b$分别为$14,18$，则输出的$a=$

已知$A,B$是球$O$的球面上两点，$\angle AOB=90°$,$C$为该球面上的动点，若三棱锥$O-ABC$体积的最大值为36，则球$O$的表面积为（    ）

如图，长方形$ABCD$的边$AB=2$，$BC=1$，$O$是$AB$的中点，点$P$沿着边$BC$，$CD$与$DA$运动，记$\angle BOP=x$．将动$P$到$A$、$B$两点距离之和表示为$x$的函数$f\left(x\right)$，则$y=f\left(x\right)$的图像大致为（）

已知 $A,B$为双曲线 $E$的左,右顶点,点 $M$在 $E$上, $∆ABM$为等腰三角形,且顶角为 ${120}^{°}$,则 $E$的离心率为（）

设函数$f`\left(x\right)$是奇函数$f\left(x\right)(x\in R)$的导函数，$f(-1)=0$，当$x>0$时，$xf`\left(x\right)-f\left(x\right)<0$，则使得$f\left(x\right)>0$成立的$x$的取值范围是

设向量$\stackrel{\rightharpoonup }{a}$，$\stackrel{\rightharpoonup }{b}$不平行，向量$\lambda \stackrel{\rightharpoonup }{a}+\stackrel{\rightharpoonup }{b}$与$\stackrel{\rightharpoonup }{a}+2\stackrel{\rightharpoonup }{b}$平行，则实数$\lambda$=．

若$x,y$满足约束条件$\{\begin{array}{c}x-y+1\ge 0\\ x-2y\le 0\\ x+2y-2\le 0\end{array}$，则$z=x+y$的最大值为．

$(a+x)(1+x{)}^4$的展开式中$x$的奇数次幂项的系数之和为32，则$a=$．

设 $S_n$是数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和，且 $a_1=-1,a_{n+1}=S_n{S}_{n+1}$，则 $S_n=$．

$△ABC$中，$D$是$BC$上的点，$AD$平分$\angle BAC$，$△ABD$面积是$△ADC$面积的$2$倍．
（Ⅰ） 求$\frac{\sin \angle B}{sin\angle C}$；
（Ⅱ）若$AD=1$，$DC=\frac{\sqrt{2}}{2}$，求$BD$和$AC$的长．

某公司为了解用户对其产品的满意度，从$A$，$B$两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
$A$地区：62  73  81  92  95  85  74  64  53  76
78  86  95  66  97  78  88  82  76  89
$B$地区：73  83  62  51  91  46  53  73  64  82
93  48  65  81  74  56  54  76  65  79
（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；

（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：

记时间$C$："$A$地区用户的满意度等级高于$B$地区用户的满意度等级"．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求$C$的概率．

如图，长方体$ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$中,$AB=16,BC=10,A{A}_1=8$,点$E,F$分别在$A_1{B}_1,C_1{D}_1$上,$A_{1}E=D_{1}F=4$.过点$E,F$的平面$\alpha$与此长方体的面相交,交线围成一个正方形．

（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；
（Ⅱ）求直线$AF$与平面$\alpha$所成角的正弦值．

已知椭圆 $C:9x^2+y^2=m^2(m>0)$,直线 $l$不过原点 $O$且不平行于坐标轴， $l$与 $C$有两个交点 $A,B$，线段 $AB$的中点为 $M$．
（Ⅰ）证明：直线 $OM$的斜率与 $l$的斜率的乘积为定值；
（Ⅱ）若 $l$过点 $(\frac{m}{3},m)$，延长线段 $OM$与 $C$交于点 $P$，四边形 $OAPB$能否为平行四边形？若能，求此时 $l$的斜率，若不能，说明理由．

设函数$f\left(x\right)=e^{mx}+x^2-mx$．
（Ⅰ）证明：$f\left(x\right)$在$\left(-\infty ,0\right)$单调递减，在$\left(0,+\infty \right)$单调递增；
（Ⅱ）若对于任意$x_1,x_2\in \left[-1,1\right]$，都有$\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right|\le e-1$，求$m$的取值范围．

选修4-1：几何证明选讲
如图，$O$为等腰三角形$ABC$内一点，圆$O$与$△ABC$的底边$BC$交于$M$、$N$两点与底边上的高$AD$交于点$G$，与$AB$、$AC$分别相切于$E$、$F$两点．
 
（Ⅰ）证明：$EF\parallel BC$；
（Ⅱ） 若$AG$等于$\odot O$的半径，且$AE=MN=2\sqrt{3}$，求四边形$EBCF$的面积．

在直角坐标系$xOy$中,曲线$C_1:\left\{\begin{array}{l}x=t\cos \alpha \\ y=t\sin \alpha \end{array}\right.$($t$为参数，$t\ne 0$),其中$0\le \alpha <\pi$，在以$O$为极点,$x$轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线$C_2:\rho =2\sin \theta$,曲线$C_3:\rho =2\sqrt{3}\cos \theta$．
（Ⅰ）求$C_2$与$C_1$交点的直角坐标；
（Ⅱ）若$C_2$与$C_1$相交于点$A$，$C_3$与$C_1$相交于点$B$，求$\left|AB\right|$的最大值．

设$a,b,c,d$均为正数，且$a+b=c+d$，证明：
（Ⅰ）若$ab>cd$，则$\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{c}+\sqrt{d}$；
（Ⅱ）$\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{c}+\sqrt{d}$是$|a-b|<|c-d|$的充要条件．