已知 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $C$是圆上一点， $\angle \mathit{BAC}$的平分线交 $\odot O$于点 $D$，过 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$交 $\mathit{AC}$的延长线于点 $E$，如图①．

（1）求证： $\mathit{DE}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AB}=10$， $\mathit{AC}=6$，求 $\mathit{BD}$的长；

（3）如图②，若 $F$是 $\mathit{OA}$中点， $\mathit{FG}\perp \mathit{OA}$交直线 $\mathit{DE}$于点 $G$，若 $\mathit{FG}=\frac{19}{4}$， $\tan \angle \mathit{BAD}=\frac{3}{4}$，求 $\odot O$的半径．