如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC＝90°，AB＝2，点D₁、D分别是棱B₁C₁、BC的中点．

(Ⅰ)求证：A₁D₁⊥平面BB₁C₁C；
(Ⅱ)求证：AB₁∥平面CA₁D₁；
（Ⅲ）求多面体A₁B₁D₁-CAD的体积．