已知半椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(x\ge 0)$ 与半椭圆 $\frac{x^2}{c^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(x\le 0)$ 组成的曲线称为"果圆"，其中 $a^2=b^2+c^2,a>0,b>c>0$ .如图，设点 $F_0,F_1,F_2$ 是相应椭圆的焦点， $A_1$ ， $A_2$ 和 $B_1$ ， $B_2$ 是"果圆" 与 $x$ ， $y$ 轴的交点，
（1）若三角形 $F_0{F}_1{F}_2$ 是边长为1的等边三角形，求"果圆"的方程；
（2）若 $\left|A_{1}A\right|>\left|B_{1}B\right|$ ，求 $\frac{b}{a}$ 的取值范围；
（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数 $k$ ，使得斜率为 $k$ 的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有 $k$ 的值；若不存在，说明理由.