2011年全国统一高考理科数学试卷（广东卷）

设复数 $z$满足 $(1+i)z=2$，其中 $i$为虚数单位，则 $Z=$（）

已知集合 $A=\left\{\overline{)\left(x,y\right)}x,y\mathrm{为实数}，且x^2+y^2=1\right\}$, $B=\left\{\overline{)\left(x,y\right)}x,y\mathrm{为实数}，且y=x\right\}$,则 $A\cap B$的元素个数为（）

若向量 $a,b,c$满足 $a//b$且 $a\perp c$，则 $c·(a+2b)=$

设函数 $f\left(x\right)$和 $g\left(x\right)$分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（  ）

已知平面直角坐标系 $xOy$上的区域 $D$由不等式组 $\{\begin{array}{c}0\le x\le \sqrt{2}\\ y\le 2\\ x\le \sqrt{2}y\end{array}$给定，若 $M(x,y)$为 $D$上定点，点 $A$的坐标为 $(\sqrt{2},1)$，则 $z=\stackrel{\rightharpoonup }{OM}·\stackrel{\rightharpoonup }{OM}的$的最大值为（）

甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（  ）

如图，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为

设 $S$是整数集 $Z$的非空子集，如果 $\forall a，b\in S$有 $ab\in S$，则称 $S$关于数的乘法是封闭的．若 $T,V$是 $Z$的两个不相交的非空子集， $T\cup V=Z$且 $\forall a,b,c\in T$有 $abc\in T$， $\forall x,y,z\in V$有 $xyz\in V$，则下列结论恒成立的是（）

不等式 $\left|x+1\right|-\left|x-3\right|\ge 0$的解集是.

$x{\left(x-\frac{2}{x}\right)}^7$的展开式中, $x^4$的系数是(用数字作答).

等差数列 $\left\{a_n\right\}$前9项的和等于前4项的和.若 $a_1=1$, $a_k+a_4=0$，则 $k=$.

某数学老师身高176 $cm$,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 $cm$、170cm和182 $cm$.因儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 $cm$.

（坐标系与参数方程选做题）

已知两曲线参数方程分别为 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{5}cos\theta \\ y=\sin \theta \end{array}\right.\left(0\le \theta <\mathrm{\pi }\right)$和 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{4}{5}{t}^2\\ y=t\end{array}\right.\left(t\in R\right)$，它们的交点坐标为 .

（几何证明选讲选做题）

如图，过圆 $O$外一点 $P$分别作圆的切线和割线交圆于 $A,B$,且 $PB=7$， $C$是圆上一点使得 $BC=5$， $\angle BAC=\angle APB$，则 $AB=$.

已知函数 $f\left(x\right)=2\sin (\frac{1}{3}x-\frac{\pi }{6}),x\in R$.

(1)求 $f\left(\frac{5\pi }{4}\right)$的值;

(2)设 $\alpha ,\beta \in [0,\frac{\pi }{2}],f(3\alpha +\frac{\pi }{2})=\frac{10}{13},f(3\beta +2\pi )=\frac{6}{5}$，求 $\cos (\alpha +\beta )$的值.

为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素 $x,y$ 的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：

（1）已知甲厂生产的产品共98件，求乙厂生产的产品数量；
（2）当产品中的微量元素 $x,y$ 满足 $x\ge 175$ 且 $y\ge 75$ ，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
（3）从乙厂抽出上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数 $\xi$ 的分布列极其均值（即数学期望）。

如图，在锥体 $P-ABCD$ 中，ABCD是边长为1的菱形，且 $\angle DAB=60°$ ， $PA=PD=\sqrt{2}$ ， $PB=2$ ，E，F分别是BC，PC的中点.

（1）证明： $AD\perp \mathrm{平面}DEF$

（2）求二面角 $P-AD-B$ 的余弦值

$F(\sqrt{5},0)$设圆 $C$与两圆 _{$(x+\sqrt{5}{)}^2+y^2=4,(x-\sqrt{5}{)}^2+y^2=4$}中的一个内切，另一个外切.

（1）求 $C$的圆心轨迹 $L$的方程.

（2）已知点 $M(\frac{3\sqrt{5}}{5},\frac{4\sqrt{5}}{5})$, _{$F(\sqrt{5},0)$}且 $P$为 $L$上动点，求 $\left|\left|MP\right|-\left|FP\right|\right|$的最大值及此时点 $P$的坐标.

设 $b>0$,数列 $\left\{a_n\right\}$满足 $a_1=b$, $a_n=\frac{nb{a}_{n-1}}{a_{n-1}+2n-2}(n\ge 2)$,

(1)求数列 $\left\{a_n\right\}$的通项公式.

(2)证明：对于一切正整数 $n$, $a_n\le \frac{b^{n+1}}{2^{n+1}}+1$

在平面直角坐标系 $xOy$ 上，给定抛物线 $L:y=\frac{1}{4}{x}^2$ ．实数 $p,q$ 满足 $p^2-4q\ge 0$ , $x_1,x_2$ 是方程 $x^2-px+q=0$ 的两根，记 $\phi (p,q)=max\left\{\left|x_1\right|,\left|x_2\right|\right\}$

（1）过点 $A(p_0,\frac{1}{4}{p_0}^2)(p_0\ne 0)$ 作 $L$ 的切线教 $y$ 轴于点 $B$ ．证明：对线段 $AB$ 上任一点 $Q(p,q)$ 有 $\phi (p,q)=\frac{\left|p_0\right|}{2}$ ;

（2）设 $M(a,b)$ 是定点，其中 $a,b$ 满足 $a^2-4b>0$ , $a\ne 0$ .过 $M(a,b)$ 作 $L$ 的两条切线 $l_1,l_2$ ，切点分别为 $E\left(p_{1,}\frac{1}{4}{p_1}^2\right)$ ， $E^{`}\left(p_2,\frac{1}{4}{p_2}^2\right)$ $l_1,l_2$ 与y轴分别交与 $F,F`$ .线段 $EF$ 上异于两端点的点集记为 $X$ ．证明： $M(a,b)\in X\iff \left|P_1\right|>\left|P_2\right|\iff \phi (a,b)=\frac{\left|p_1\right|}{2}$ ;

（3）设 $D=\left\{(x,y)|y\le x-1,y\ge \frac{1}{4}(x+1{)}^2-\frac{5}{4}\right\}$ ．当点 $(p,q)$ 取遍 $D$ 时，求 $\phi (p,q)$ 的最小值 （记为 ${\phi }_{min}$ ）和最大值（记为 ${\phi }_{max}$ ）．