2007年全国统一高考理科数学试卷（上海卷）

函数 $f\left(x\right)=\frac{lg\left(4-x\right)}{x-3}$的定义域为.

已知 $l_1:2x+my+1=0$与 $l_2:y=3x-1$，若两直线平行，则 $m$的值为.

函数 $f\left(x\right)=\frac{x}{x-1}$的反函数 $f^{-1}\left(x\right)=$.

方程 $9^x-6·3^x-7=0$的解是.

已知 $x,y\in R^{+}$，且 $x+4y=1$，则 $x·y$的最大值为

函数 $f\left(x\right)=\sin (x+\frac{\pi }{3})\sin (x+\frac{\pi }{2})$的最小正周期是 $T=$

有数字 $1,2,3,4,5$，若从中任取三个数字，剩下两个数字为奇数的概率为.

已知双曲线 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为

若 $a,b$为非零实数，则下列四个命题都成立：
① $a+\frac{1}{a}\ne 0$② $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$③若 $\left|a\right|=\left|b\right|$，则④若 $a^2=ab$，则 $a=b$

则对于任意非零复数 $a,b$，上述命题仍然成立的序号是。

平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合.已知两个相交平面 $\alpha ,\beta$与两直线 $l_1,l_2$，又知 $l_1,l_2$在 $\alpha$内的射影为 $s_1,s_2$，在 $\beta$内的射影为 $t_1,t_2$.试写出 $s_1,s_2$与 $t_1,t_2$满足的条件，使之一定能成为 $l_1,l_2$是异面直线的充分条件.

已知圆的方程 $x^2+{\left(y-1\right)}^2=1$ ， $P$ 为圆上任意一点（不包括原点）。直线 $OP$ 的倾斜角为 $\theta$ 弧度， $\left|OP\right|=d$ ，则 $d=f\left(\theta \right)$ 的图象大致为   .

已知 $2+ai,b+i$是实系数一元二次方程 $x^2+px+q=0$的两根，则 $p,q$的值为（）

已知 $a,b$为非零实数，且 $a<b$，则下列命题成立的是（）

在直角坐标系 $xOy$中， $\stackrel{\rightharpoonup }{i},\stackrel{\rightharpoonup }{j}$分别是与 $x$轴， $y$轴平行的单位向量，若直角三角形 $ABC$中， $\stackrel{\rightharpoonup }{AB}=2\stackrel{\rightharpoonup }{i}+\stackrel{\rightharpoonup }{j}$， $\stackrel{\rightharpoonup }{AC}=3\stackrel{\rightharpoonup }{i}+k\stackrel{\rightharpoonup }{j}$，则 $k$的可能值有

已知 $f\left(x\right)$是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的 $k$，若 $f\left(k\right)\ge k^2$成立，则 $f\left(k+1\right)\ge {\left(k+1\right)}^2$成立，下列命题成立的是（）

体积为1的直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$中， $\angle ACB={90}^{°},AC=BC=1$，求直线 $A{B}_1$与平面 $BC{C}_1{B}_1$所成角.

在三角形 $ABC$中， $a=2$， $C=\frac{\pi }{4}$, $\cos \frac{B}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，求三角形 $ABC$的面积 $S$.

近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快，已知 $2002$年全球太阳能年生产量为 $670$兆瓦，年增长率为 $34\%$。在此后的四年里，增长率以每年 $2\%$的速度增长（例如2003年的年生产量增长率为 $36\%$）
（1）求 $2006$年的太阳能年生产量（精确到 $0.1$兆瓦）
（2）已知 $2006$年太阳能年安装量为 $1420$兆瓦，在此后的 $4$年里年生产量保持 $42\%$的增长率，若 $2010$年的年安装量不少于年生产量的 $95\%$，求 $4$年内年安装量的增长率的最小值（精确到 $0.1\%$）

已知函数 $f\left(x\right)=x^2+\frac{a}{x}\left(x\ne 0,a\in R\right)$

（1）判断 $f\left(x\right)$的奇偶性

（2）若 $f\left(x\right)$在 $[2,+\infty )$是增函数，求实数 $a$的范围.

若有穷数列 $a_1,a_2,...,a_n$（ $n$是正整数），满足 $a_1=a_n,a_2=a_{n-1},...a_n=a_1$即 $a_i=a_{n-i+1}$（ $i$是正整数，且 $1\le i\le n$），就称该数列为"对称数列"。
（1）已知数列 $\left\{b_n\right\}$是项数为7的对称数列，且 $b_1,b_2,b_3,b_4$成等差数列， $b_1=2,b_4=11$，试写出 $\left\{b_n\right\}$的每一项
（2）已知 $\left\{c_n\right\}$是项数为 $2k-1(k\ge 1)$的对称数列，且 $c_k,c_{k-1},...c_{2k-1}$构成首项为50，公差为 $-4$的等差数列，数列 $\left\{c_n\right\}$的前 $2k-1$项和为 $S_{2k-1}$，则当 $k$为何值时， $S_{2k-1}$取到最大值？最大值为多少？
（3）对于给定的正整数 $m>1$，试写出所有项数不超过 $2m$的对称数列，使得 $1,2,2^2,\dots ,2^{m-1}$成为数列中的连续项；当 $m>1500$时，试求其中一个数列的前2008项和 $S_{2008}$

已知半椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(x\ge 0)$ 与半椭圆 $\frac{x^2}{c^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(x\le 0)$ 组成的曲线称为"果圆"，其中 $a^2=b^2+c^2,a>0,b>c>0$ .如图，设点 $F_0,F_1,F_2$ 是相应椭圆的焦点， $A_1$ ， $A_2$ 和 $B_1$ ， $B_2$ 是"果圆" 与 $x$ ， $y$ 轴的交点，
（1）若三角形 $F_0{F}_1{F}_2$ 是边长为1的等边三角形，求"果圆"的方程；
（2）若 $\left|A_{1}A\right|>\left|B_{1}B\right|$ ，求 $\frac{b}{a}$ 的取值范围；
（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数 $k$ ，使得斜率为 $k$ 的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有 $k$ 的值；若不存在，说明理由.