2007年全国统一高考理科数学试卷（海南卷）

已知命题  $p:\forall x\in R$ ， $\sin x\le 1$ ，则

已知平面向量 $\mathit{a}=\left(1,1\right),\mathit{b}\mathbf{=}\left(1,-1\right)$,则向量 $\frac{1}{2}\mathit{a}-\frac{3}{2}\mathit{b}\mathbf{=}$（）

函数 $y=\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi }{2},\pi \right]$ 的简图是（  ）

A． B．

C． D．

已知 $\left\{a_n\right\}$是等差数列， $a_{10}=10$，其前10项和 $S_{10}=70$，则其公差 $d=$（）

如果执行下面的程序框图，那么输出的 $S=$

已知抛物线 $y^2=2px\left(p>0\right)$的焦点为 $F$，点 $P_1\left(x_1,y_1\right)$、 $P_2\left(x_2,y_2\right)$、 $P_3\left(x_3,y_3\right)$在抛物线上，且 $2x_2=x_1+x_3$，则有（）

已知 $x>0,y>0$， $x,a,b,y$成等差数列， $x,c,d,y$成等比数列，则 $\frac{(a+b{)}^2}{cd}$的最小值是（）

已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（  ）

若 $\frac{\cos 2\alpha }{\sin (\alpha -{\displaystyle \frac{\pi }{4}})}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，则 $\cos \alpha +\sin \alpha$的值为

曲线 $y=e^{\frac{1}{2}}$在点 $(4,e^2)$处的切线与坐标轴所围三角形的面积为

甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表

$s_1,s_2,s_3$ 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（  ）

一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等. 设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为 $h_1$、 $h_2$、 $h$，则 $h_1$﹕ $h_2$﹕ $h$ =（）

已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为.

设函数 $f\left(x\right)=\frac{(x+1)(x+a)}{x}$为奇函数，则 $a=$.

$i$是虚数单位， $\frac{-5+10i}{3+4i}=$(用 $a+bi$的形式表示， $a,b\in R$)

某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有种.(用数字作答)

如图，测量河对岸的塔高 $AB$ 时，可以选与塔底 $B$ 在同一水平面内的两个测点 $C$ 与 $D$ . 现测得 $\angle BCD=\alpha$ ， $\angle BCD=\beta$ ， $CD=s$ ，并在点 $C$ 测得塔顶 $A$ 的仰角为 $\theta$ ，求塔高 $AB$ .

如图，在三棱锥 $S-ABC$ 中, 侧面 $SAB$ 与侧面 $SAC$ 均为等边三角形, $\angle BAC={90}^{°}$ , $O$ 为 $BC$ 中点.
（Ⅰ）证明： $SO\perp$ 平面 $ABC$

（Ⅱ）求二面角 $A-SC-B$ 的余弦值.

在平面直角坐标系 $xoy$中，经过点 $\left(0,\sqrt{2}\right)$且斜率为 $k$的直线 $l$与椭圆 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$有两个不同的交点 $P$和 $Q$.
（Ⅰ）求 $k$的取值范围；
（Ⅱ）设椭圆与 $x$轴正半轴、 $y$轴正半轴的交点分别为 $A$、 $B$，是否存在常数 $k$，使得向量 $\underset{OP}{\to }+\underset{OQ}{\to }$与 $\underset{AB}{\to }$共线？如果存在，求 $k$值；如果不存在，请说明理由.

如图，面积为S的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，可按下面方法估计M的面积：在正方形ABCD中随机投掷n个点，若n个点中有m个点落入M中，则M的面积的估计值为 $\frac{m}{n}S$ . 假设正方形ABCD的边长为2，M的面积为1，并向正方形ABCD中随机投掷10 000个点，以X表示落入M中的点的数目.
（Ⅰ）求X的均值EX；
（Ⅱ）求用以上方法估计M的面积时，M的面积的估计值与实际值之差在区间(-0.03,0.03)内的概率.
附表： $P\left(k\right)=\underset{i=0}{\overset{\lambda }{\sum }}{C}_{10000}^1\times 0.{25}^{\lambda }\times 0.{75}^{10000-i}$

设函数 $f\left(x\right)=\ln (x+a)+x^3$.
（Ⅰ）若当 $x=-1$时 $f\left(x\right)$取得极值，求 $a$的值，并讨论 $f\left(x\right)$的单调性；
（Ⅱ）若 $f\left(x\right)$存在极值，求 $a$的取值范围，并证明所有极值之和大于 $\ln \frac{e}{2}$.

如图，已知 $AP$ 是 $\odot O$ 的切线， $P$ 为切点， $AC$ 是⊙O的割线，与 $\odot O$ 交于 $B$ 、 $C$ 两点，圆心 $O$ 在 $\angle PAC$ 的内部，点 $M$ 是 $BC$ 的中点.

（Ⅰ）证明 $A,P,O,M$ 四点共圆；
（Ⅱ）求 $\angle OAM＋\angle APM$ 的大小.

$\odot O_1$和 $\odot O_2$的极坐标方程分别为 $\rho =4\cos \theta ,\rho =-4\sin \theta$.
（Ⅰ）把 $\odot O_1$和 $\odot O_2$的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求经过 $\odot O_1,\odot O_2$交点的直线的直角坐标方程.

设函数 $f\left(x\right)=\left|2x+1\right|-\left|x-4\right|$.
（Ⅰ）解不等式 $f\left(x\right)>2$；
（Ⅱ）求函数 $y=f\left(x\right)$的最小值.