2013年全国统一高考理科数学试卷（四川卷）

设集合 $A=\{\overline{)x}x+2=0\}$，集合 $B=\{\overline{)x}{x}^2-4=0\}$，则 $A\cap B=$（　　）

如图，在复平面内，点 $A$表示复数 $z$的共轭复数，则复数 $z$对应的点是（　　）

一个几何体的三视图如图所示，则该集合体的直观图可以是（）

设 $x\in Z$，集合 $A$奇数集，集合 $B$是偶数集．若命题 $p$： $\forall x\in A,2x\in B$，则（）

函数 $f\left(x_{}\right)=2\sin \left(\omega x+\phi \right)\left(\omega >0,-\frac{\pi }{2}<\phi <\frac{\pi }{2}\right)$的部分图象如图所示，则 $\omega$， $\phi$的值分别是（）

抛物线 $y^2=4x$的焦点到双曲线 $x^2-\frac{y^2}{3}=1$的渐近线的距离是（　　）

函数 $y=\frac{x^3}{3^x-1}$的图象大致是（　　）

从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为 $a,b$，共可得到 $lga-lgb$的不同值的个数是（）

节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（　　）

设函数 $f\left(x\right)=\sqrt{e^x+x-a}$（ $a\in R$， $e$为自然对数的底数），若曲线 $y=\sin x$上存在点 $\left(x_0,y_0\right)$使得 $f\left(f\left(y_0\right)\right)=y_0$，则 $a$的取值范围是（）

二项式 $(x+y{)}^5$的展开式中，含 $x^2{y}^3$的项的系数是（用数字作答）．

在平行四边形 $ABCD$中，对角线 $AC$与 $BD$交于点 $O$， $\stackrel{\to }{AB}+\stackrel{\to }{AD}=\lambda \stackrel{\to }{AO}$，则 $\lambda =$．

设 $\sin 2\alpha =-\sin \alpha$， $\alpha \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$，则 $\tan 2\alpha$的值是．

已知 $f\left(x\right)$是定义域为 $R$的偶函数，当 $x\ge 0$时， $f\left(x\right)=x^2-4x$，那么，不等式 $f\left(x+2\right)<5$的解集是．

设 $P_1,P_2,\dots ,P_n$为平面 $\alpha$内的 $n$个点,在平面 $\alpha$内的所有点中,若点 $P$到点 $P_1,P_2,\dots ,P_n$的距离之和最小,则称点 $P$为 $P_1,P_2,\dots ,P_n$的一个"中位点",例如,线段 $AB$上的任意点都是端点 $A,B$的中位点,现有下列命题：

①若三个点 $A、B、C$共线, $C$在线段 $AB$上,则 $C$是 $A,B,C$的中位点；

②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③若四个点 $A、B、C、D$共线,则它们的中位点存在且唯一；
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．
其中的真命题是(写出所有真命题的序号)．

在等差数列 $\left\{a_n\right\}$中， $a_1+a_3=8$，且 $a_4$为 $a_2$和 $a_9$的等比中项，求数列 $\left\{a_n\right\}$的首项，公差及前 $n$项和．

在 $△ABC$中，角 $A,B,C$的对边分别 $a,b,c$，且 $2{\cos }^2\frac{A-B}{2}\cos B-\sin (A-B)\sin B+\cos (A+C)=-\frac{3}{5}$.
（1）求 $\cos A$的值；
（2）若 $a=4\sqrt{2},b=5$，求向量 $\stackrel{\to }{BA}$在 $\stackrel{\to }{BC}$方向上的投影．

某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量 $x$在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生

（I）分别求出按程序框图正确编程运行时输出 $y$的值为 $i$的概率 $p_i(i=1,2,3)$；
（II）甲乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编程写出程序重复运行 $n$次后，统计记录输出y的值为 $i(i=1,2,3）$的频数，以下是甲乙所作频数统计表的部分数据．
甲的频数统计图（部分）

乙的频数统计图（部分）

当 $n=2100$时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为 $i(i=1,2,3）$的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编程序符合要求的可能系较大；
（III）将按程序摆图正确编写的程序运行3次，求输出 $y$的值为2的次数 $\xi$的分布列及数学期望．

如图，在三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$中，侧棱 $A{A}_1\perp$底面 $ABC$， $AB=AC=2A{A}_1$， $\angle BAC=$120°， $D,D_1$分别是线段 $BC,B_1{C}_1$的中点， $P$是线段 $AD$的中点．

（I）在平面 $ABC$内，试做出过点 $P$与平面 $A_{1}BC$平行的直线 $l$，说明理由，并证明直线 $l\perp$平面 $AD{D}_1{A}_1$；
（II）设（I）中的直线 $l$交 $AB$于点 $M$，交 $AC$于点 $N$，求二面角 $A-A_{1}M-N$的余弦值．

已知椭圆 $C:$ $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（ $a>b>0$）的两个焦点分别为 $F_1(-1,0)$， $F_2(1,0)$，且椭圆 $C$经过点 $P(\frac{4}{3},\frac{1}{3})$．
（I）求椭圆 $C$的离心率：
（II）设过点 $A(0,2)$的直线 $l$与椭圆 $C$交于 $M,N$两点，点 $Q$是线段 $MN$上的点，且 $\frac{2}{|AQ{|}^2}=\frac{1}{|AM{|}^2}+\frac{1}{|AN{|}^2}$，求点 $Q$的轨迹方程．

已知函数 $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}{x}^2+2x+a,x<0\\ \ln x,x>0\end{array}\right.$，其中 $a$是实数，设 $A\left(x_1,f\left(x_1\right)\right)$， $B\left(x_2,f\left(x_2\right)\right)$为该函数图象上的点，且 $x_1<x_2$．
（I）指出函数 $f\left(x\right)$的单调区间；
（II）若函数 $f\left(x\right)$的图象在点 $A,B$处的切线互相垂直，且 $x_2<0$，求 $x_2-x_1$的最小值；
（III）若函数 $f\left(x\right)$的图象在点 $A,B$处的切线重合，求 $a$取值范围．