2013年全国统一高考理科数学试卷（大纲卷）

设集合 $A=\{1,2,3\}$， $B=\{4,5\}$， $M=\left\{x\right|x=a+b,a\in A,b\in B\}$，则 $M$中元素的个数为（  ）

${\left(1+\sqrt{3}\right)}^3=$（）

已知向量 $\stackrel{\rightharpoonup }{m}=\left(\lambda +1,1\right)$， $\stackrel{\rightharpoonup }{n}=\left(\lambda +2,2\right)$，若 $\left(\stackrel{\rightharpoonup }{m}+\stackrel{\rightharpoonup }{n}\right)\perp \left(\stackrel{\rightharpoonup }{m}-\stackrel{\rightharpoonup }{n}\right)$，则 $\lambda$ $=$（）

已知函数 $f\left(x\right)$的定义域为 $(-1,0)$，则函数 $f(2x+1)$的定义域（  ）

函数 $f\left(x\right)={\log }_2(1+\frac{1}{x}),(x>0)$的反函数 $f^{-1}\left(x\right)$=（  ）

已知数列 $\left\{a_n\right\}$满足 $3a_{n+1}+a_n=0,a_2=-\frac{4}{3}$，则 $\left\{a_n\right\}$的前10项和等于（  ）

$(1+x{)}^8(1+y{)}^4$的展开式中 $x^2{y}^2$的系数是（   ）

椭圆 $C$： $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的左右顶点分别为 $A_1,A_2$，点 $P$在 $C$上且直线 $P{A}_2$斜率的取值范围是 $\left[-2,-1\right]$，那么直线 $P{A}_1$斜率的取值范围是（）

若函数 $f\left(x\right)=x^2+ax+\frac{1}{x}$在 $(\frac{1}{2},+\infty )$是增函数，则 $a$的取值范围是（）

已知正四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$中， $A{A}_1=2AB$，则 $CD$与平面 $BD{C}_1$所成角的正弦值等于（）

已知抛物线 $C$： $y^2=8x$与点 $M\left(-2,2\right)$，过C的焦点且斜率为 $k$的直线与 $C$交于 $A,B$两点，若 $\stackrel{\rightharpoonup }{MA}·\stackrel{\rightharpoonup }{MB}=0$，则 $k=$（）

已知函数 $f\left(x\right)=\cos x\sin 2x$，下列结论中错误的是（）

已知 $\alpha$是第三象限角， $\sin \alpha =\frac{1}{3}$，则 $cot\alpha =$

6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种.(用数字作答)

记不等式组 $\{\begin{array}{c}x\ge 0\\ x+3y\ge 4\\ 3x+y\le 4\end{array}$，所表示的平面区域为 $D$.若直线 $y=a(x+1)$与 $D$有公共点，则 $a$的取值范围是.

已知圆 $O$和圆 $K$是球 $O$的大圆和小圆，其公共弦长等于球 $O$的半径, $OK=\frac{3}{2}$,且圆 $O$与圆 $K$所在的平面所成的一个二面角为 ${60}^{°}$,则球 $O$的表面积等于.

等差数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和为 $S_n$.已知 $S_3={a_2}^2$，且 $S_1,S_2,S_4$成等比数列，求 $\left\{a_n\right\}$的通项公式.

设 $∆ABC$的内角 $A$、 $B$、 $C$的对边分别为 $a$、 $b$、 $c$， $\left(a+b+c\right)\left(a-b+c\right)=ac$.
（Ⅰ）求 $B$；
（Ⅱ）若 $\sin A\sin C=\frac{\sqrt{3}-1}{4}$，求 $C$.

如图，四棱锥 $P-ABCD$中， $\angle ABC=\angle BAD={90}^{°},BC=2AD$， $△PAB$和 $△PAD$都是等边三角形.

（Ⅰ）证明： $PB\perp CD$；
（Ⅱ）求二面角 $A-PD-C$的大小.

甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为 $\frac{1}{2}$，各局比赛的结束相互独立，第1局甲当裁判.
（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；
（Ⅱ）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望.

已知双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，离心率为3，直线 $y=2$与 $C$的两个交点间的距离为 $\sqrt{6}$.
（Ⅰ）求 $a,b$；
（Ⅱ）设过 $F_2$的直线 $l$与 $C$的左、右两支分别交于 $A,B$两点，且 $\left|A{F}_1\right|=\left|B{F}_1\right|$，证明： $\left|A{F}_2\right|,\left|AB\right|,\left|B{F}_2\right|$成等比数列.

已知函数 $f\left(x\right)=\ln \left(1+x\right)-\frac{x\left(1+\lambda x\right)}{1+x}$.
（Ⅰ）若 $x\ge 0$时, $f\left(x\right)\le 0$,求 $\lambda$的最小值；
（Ⅱ）设数列 $\left\{a_n\right\}$的通项 $a_n=1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}$,证明: $a_{2n}-a_n+\frac{1}{4n}>\ln 2$.