2013年全国统一高考文科数学试卷（安徽卷）

设 $i$是虚数单位,若复数 $a-\frac{10}{3-i}\left(a\in R\right)$是纯虚数，则 $a$的值为（）

已知 $A=\left\{\overline{)x}x+1>0\right\},B=\left\{-2,-1,0,1\right\}$，则 $\left(C_{R}A\right)\cap B=$（）

如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（  ）

" $(2x-1)x=0$"是" $x=0$"的（ ）

若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（）

直线 $x+2y-5+\sqrt{5}=0$被圆 $x^2+y^2-2x-4y=0$截得的弦长为（）

设 _{$S_n$}为等差数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和, $S_8=4a_3,a_7=-2$则 $a_9=$（）

函数 $y=f\left(x\right)$的图像如图所示，在区间 $[a,b]$上可找到 $n(n\ge 2)$个不同的数 $x_1,x_2,...,x_n$_，使得 $\frac{f\left(x_1\right)}{x_1}=\frac{f\left(x_2\right)}{x_2}=...=\frac{f\left(x_n\right)}{x_n}$，则 $n$的取值范围为（ ）

设 $△ABC$的内角 $A,B,C$所对边的长分别为 $a,b,c$，若 $b+c=2a,3\sin A=5\sin B$,则角 $C$=（  ）

已知函数 $f\left(x\right)=x^3+a{x}^2+bx+c$有两个极值点 $x_1,x_2$，若 $f\left(x_1\right)=x_1<x_2$，则关于 $x$的方程 $3\left(f\right(x){)}^2+2af(x)+b=0$的不同实根个数为

函数 $y=\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)+\sqrt{1-x^2}$的定义域为.

若非负数变量 $x,y$满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x-y\ge -1\\ x+2y\le 4\end{array}\right.$，则 $x+y$的最大值为.

若非零向量 $\stackrel{\rightharpoonup }{a},\stackrel{\rightharpoonup }{b}$满足 $\left|\stackrel{\rightharpoonup }{a}\right|=3\left|\stackrel{\rightharpoonup }{b}\right|=|\stackrel{\rightharpoonup }{a}+2\stackrel{\rightharpoonup }{b}|$，则 $\stackrel{\rightharpoonup }{a},\stackrel{\rightharpoonup }{b}$夹角的余弦值为.

定义在 $R$上的函数 $f\left(x\right)$满足 $f(x+1)2f\left(x\right)$.若当 $0\le x\le 1$时。 $f\left(x\right)=x(1-x)$，则当 $-1\le x\le 0$时， $f\left(x\right)$=.

如图，正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$的棱长为1， $P$为 $BC$的中点， $Q$为线段 $C{C}_1$上的动点，过点 $A,P,Q$的平面截该正方体所得的截面记为 $S$，则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）。

①当 $0<CQ<\frac{1}{2}$时， $S$为四边形
②当 $CQ=\frac{1}{2}$时， $S$为等腰梯形
③当 $CQ=\frac{3}{4}$时， $S$与 $C_1{D}_1$的交点 $R$满足 $C_{1}R=\frac{1}{3}$

④当 $\frac{3}{4}<CQ<1$时， $S$为六边形
⑤当 $CQ=1$时， $S$的面积为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

设函数 $f\left(x\right)=\sin x+\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$.
（Ⅰ）求 $f\left(x\right)$的最小值，并求使 $f\left(x\right)$取得最小值的的集合；
（Ⅱ）不画图，说明函数 $y=f\left(x\right)$的图像可由 $y=\sin x$的图象经过怎样的变化得到.

为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如下：

（Ⅰ）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；
（Ⅱ）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为 $\overline{x_1},\overline{x_2}$，估计 $\overline{x_1}-\overline{x_2}$的值.

如图，四棱锥 $P-ABCD$的底面 $ABCD$是边长为 $2$的菱形， $\angle ABC=60°$.已知 $PB=PD=2,PA=\sqrt{6}$&#xa0;.

（Ⅰ）证明： $PC\perp BD$

（Ⅱ）若 $E$为 $PA$的中点，求三菱锥 $P-BCE$的体积.

设数列 $\left\{a_n\right\}$满足 $a_1=2,a_2+a_4=8$,且对任意 $n\in N^{*}$，函数 $f\left(x\right)=\left(a_n-a_{n+1}+a_{n+2}\right)x+a_{n+1}·\cos x-a_{n+2}·\sin x$满足 $f`\left(\frac{\pi }{2}\right)=0$

(Ⅰ)求数列 $\left\{a_n\right\}$的通项公式；
（Ⅱ）若 $b_n=2\left(a_n+\frac{1}{2^{a_n}}\right)$，求数列 $\left\{b_n\right\}$的前 $n$项和 $S_n$.

设函数 $f\left(x\right)=ax-(1+a^2)x^2$，其中 $a>0$，区间 $I=\left\{x\right|f\left(x\right)>0\}$.
（Ⅰ）求 $I$的长度（注：区间 $(\alpha ,\beta )$的长度定义为 $\beta -\alpha$；
（Ⅱ）给定常数 $k\in (0,1)$，当 $1-k\le a\le 1+k$时，求 $I$长度的最小值.

已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$的焦距为4，且过点 $P\left(\sqrt{2},\sqrt{3}\right)$.
（Ⅰ）求椭圆 $C$的方程；
（Ⅱ）设 $Q\left(x_0,y_0\right)\left(x_0{y}_0\ne 0\right)$为椭圆 $C$上一点，过点 $Q$作 $x$轴的垂线，垂足为 $E$。取点 $A\left(0,2\sqrt{2}\right)$,连接 $AE$，过点 $A$作 $AE$的垂线交 $x$轴于点 $D$。点 $G$是点 $D$关于 $y$轴的对称点，作直线 $QG$，问这样作出的直线 $QG$是否与椭圆 $C$一定有唯一的公共点？并说明理由.