2010年高考试题分项版理科数学之专题十三 导数

设 $a$为实数，函数 $f\left(x\right)=e^x-2x+2a,x\in R$。
(Ⅰ)求 $f\left(x\right)$的单调区间与极值；
(Ⅱ)求证：当 $a>\ln 2-1$且 $x>0$时， $e^x>x^2-2ax+1$。

已知函数 $f\left(x\right)＝x$， $g\left(x\right)＝a\ln x$， $a\in R$

（Ⅰ）若曲线 $y=f\left(x\right)$与曲线 $y=g\left(x\right)$相交，且在交点处有共同的切线，求 $a$的值和该切线方程；

（Ⅱ）设函数 $h\left(x\right)=f\left(x\right)-g(x）$，当 $h\left(x\right)$存在最小值时，求其最小值 $\phi \left(a\right)$的解析式；

（Ⅲ）对（Ⅱ）中的 $\phi \left(a\right)$和任意的 $a＞0,b＞0$，证明： $\phi `=(\frac{a+b)}{2}\le \frac{\phi `\left(a\right)+\phi `\left(b\right)}{2}\le \phi `(\frac{2ab}{a+b})$.

${\int }_2^4\frac{1}{x}dx$等于（）

由曲线 $y=x^2,y=x^3$围成的封闭图形面积为（）

已知函数 $f\left(x\right)=lnx-ax+\frac{1-a}{x}-1(a\in R)$.
(Ⅰ)当 $a\le \frac{1}{2}$时，讨论 $f\left(x\right)$的单调性；
（Ⅱ）设 $g\left(x\right)=x^2-2bx+4$当 $a=\frac{1}{4}$时，若对任意 $x_1\in (0,2)$，存在 $x_2\in [1,2]$，使 $f\left(x_1\right)\ge g\left(x_2\right)$，求实数 $b$取值范围.

已知函数 $f\left(x\right)=x^3-x$,其图像记为曲线 $C$.

（i）求函数 $f\left(x\right)$的单调区间；

（ii）证明：若对于任意非零实数 $x_1$,曲线C与其在点 $P_1(x_1,f(x_1\left)\right)$处的切线交于另一点 $P_2(x_2,f(x_2\left)\right)$，曲线 $C$与其在点 $P_2$处的切线交于另一点 $P_3(x_3,f(x_3\left)\right)$，线段 $P_1{P}_2,P_2{P}_3$与曲线 $C$所围成封闭图形的面积分别记为 $S_1,S_2$，则 $\frac{S_1}{S_2}$为定值；

（Ⅱ）对于一般的三次函数 $g\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d(a\ne 0)$,请给出类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明。

已知函数 $f\left(x\right)=\ln \left(1+x\right)-x+\frac{x}{2}{x}^2\left(k⩾0\right)$.
(Ⅰ)当 $k=2$时，求曲线 $y=f\left(x\right)$在点 $\left(1,f\left(1\right)\right)$处的切线方程；
(Ⅱ)求 $f\left(x\right)$的单调区间.

曲线 $y=\frac{x}{x+2}$在点 $(-1,-1)$处的切线方程为（  ）

设函数 $f\left(x\right)=e^x-1-x-a{x}^2$。
（1）若 $a=0$，求 $f\left(x\right)$的单调区间；
（2）若当 $x\ge 0$时 $f\left(x\right)\ge 0$，求 $a$的取值范围.

已知函数 $f\left(x\right)=x{c}^{-x}\left(x\in R\right)$.

（Ⅰ）求函数 $f\left(x\right)$的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知函数 $y=g\left(x\right)$的图象与函数 $y=f\left(x\right)$的图象关于直线 $x=1$对称，证明当 $x>1$时， $f\left(x\right)>g\left(x\right)$

（Ⅲ）如果 $x_1\ne x_2$，且 $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$，证明 $x_1+x_2>2$

已知点 $P$在曲线 $y=\frac{4}{e^x+1}$上， $a$为曲线在点 $P$处的切线的倾斜角，则 $a$的取值范围是（）

已知函数 $f\left(x\right)=\left(a+1\right)\ln x+a{x}^2+1$

（I）讨论函数 $f\left(x\right)$的单调性；
（II）设 $a<-1$.如果对任意 $x_1,x_{2\in \left(0,+\infty \right)}$， $\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right|\ge 4\left|x_1-x_2\right|$，求 $a$的取值范围。

设函数 $f\left(x\right)=\ln x+\ln (2-x)+ax,(a>0)$．
（1）当 $a=1$时，求 $f\left(x\right)$的单调区间；
（2）若 $f\left(x\right)$在 $(0,1]$上的最大值为 $\frac{1}{2}$，求 $a$的值．

已知函数 $f\left(x\right)=\frac{x-1}{x+a}+\ln \left(x+1\right)$其中实数 $a\ne 1$.
（I）若 $a=-2$，求曲线 $y=f\left(x\right)$在点 $\left(0,f\left(0\right)\right)$处的切线方程；
（II)若 $f\left(x\right)$在 $x=1$处取得极值，试讨论 $f\left(x\right)$的单调性.

若曲线 $y=x^{-\frac{1}{2}}$在点 $(a,a^{-\frac{1}{2}})$处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则 $a=$(    )

设函数 $f\left(x\right)=1-e^{-x}$．
（Ⅰ）证明：当 $x>-1$时， $f\left(x\right)\ge \frac{x}{x+1}$；
（Ⅱ）设当 $x\ge 0$时， $f\left(x\right)\le \frac{x}{ax+1}$，求 $a$的取值范围．

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用 $C$（单位：万元）与隔热层厚度 $x$（单位： $cm$）满足关系： $C\left(x\right)=\frac{k}{3x+5}\left(0\le x\le 10\right)$.若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。设 $f\left(x\right)$为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。
（Ⅰ）求 $k$的值及 $f\left(x\right)$的表达式。
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用 $f\left(x\right)$达到最小，并求最小值。

已知函数 $f\left(x\right)=ax+\frac{b}{x}+c(a>0)$的图象在点 $(1,f(1\left)\right)$处的切线方程为 $y=x-1$.

(I)用 $a$表示出 $b,c$;

(II)若 $f\left(x\right)\ge \ln x$在 $[1,+\infty )$上恒成立，求 $a$的取值范围；

(III)证明： $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}>\ln (n+1)+\frac{n}{2(n+1)}(n\ge 1)$.

已知函数 $f\left(x\right)=\left(x+1\right)\ln x-x+1$.
（Ⅰ）若 $x{f}^{`}\left(x\right)\le x^2+ax+1$,求 $a$的取值范围；
（Ⅱ）证明: $\left(x-1\right)f\left(x\right)\ge 0$.