2009年全国统一高考文科数学试卷（山东卷）

集合 $A=\left\{0,2,a\right\}$, $B=\left\{1,a^2\right\}$,若 $A\cup B=\left\{0,1,2,4,16\right\}$,则 $a$的值为（）

复数 $\frac{3-i}{1-i}$等于（）

已知 $\alpha ,\beta$表示两个不同的平面， $m$为平面 $\alpha$内的一条直线，则" $\alpha \perp \beta$"是" $m\perp \beta$"的（）

函数 $y=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}$ 的图像大致为（      ）

若函数 $f\left(x\right)=a^x-x-a$ ( $a>0$且 $a\ne 1$)有两个零点，则实数 $a$的取值范围是.

设函数$f\left(x\right)=2\sin x{\cos }^2\frac{\phi }{2}+\cos x\sin \phi -\sin x\left(0<\phi <\pi \right)$在$x=\pi$处取最小值.
（Ⅰ）求$\phi$的值；

（Ⅱ）在$∆ABC$中,$a,b,c$分别是角$A,B,C$的对边,已知$a=1,b=\sqrt{2},f\left(A\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\mathrm{求角}C$.

某公司租赁甲、乙两种设备生产$A,B$两类产品,甲种设备每天能生产$A$类产品5件和$B$类产品10件,乙种设备每天能生产$A$类产品6件和$B$类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产$A$类产品50件,$B$类产品140件,所需租赁费最少为元．

设$m\in R$,在平面直角坐标系中,已知向量$\stackrel{\rightharpoonup }{a}=(mx,y+1)$,向量$\stackrel{\rightharpoonup }{b}=(x,y-1)$,$\stackrel{\rightharpoonup }{a}\perp \stackrel{\rightharpoonup }{b}$,动点$M(x,y)$的轨迹为$E$．
（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状；
（2）已知$m=\frac{1}{4}$,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点$A,B$,且$OA\perp OB$（$O$为坐标原点）,并求出该圆的方程；
（3）已知$m=\frac{1}{4}$,设直线$l$与圆C:$x^2+y^2=R^2$（$1<R<2$）相切于$A_1$,且$l$与轨迹E只有一个公共点$B_1$,当$R$为何值时,$\left|A_1{B}_1\right|$取得最大值?并求最大值．

一汽车厂生产 $A,B,C$ 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):

按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有 $A$ 类轿车10辆.
⑴求 $z$ 的值.      
⑵用分层抽样的方法在 $C$ 类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;
⑶用随机抽样的方法从 $B$ 类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4,  8.6, 9.2,  9.6,  8.7,  9.3,  9.0,  8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.

在区间$\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$上随机取一个数$x,\cos x$的值介于0到$\frac{1}{2}$之间的概率为（）

A．

$\frac{1}{3}$

B．

$\frac{2}{\pi }$

C．

$\frac{1}{2}$

D．

$\frac{2}{3}$

执行右边的程序框图，输出的 $T=$

已知定义在$R$上的奇函数$f\left(x\right)$，满足$f(x-4)=-f\left(x\right)$,且在区间$[0,2]$上是增函数,则（）.

将函数 $y=\sin 2x$的图象向左平移 $\frac{\pi }{4}$个单位,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是（）

在$R$上定义运算⊙：$a$⊙$b=ab+2a+b$，则满足$x$⊙$(x-2)<0$的实数$x$的取值范围为（   ）

定义在$R$上的函数$f\left(x\right)$满足$f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}{\log }_2(4-x),x\le 0\\ f(x-1)-f(x-2),x>0\end{array}$，则$f\left(3\right)$的值为(      )

设 $P$是 $△ABC$所在平面内的一点， $\stackrel{\to }{BC}+\stackrel{\to }{BA}=2\stackrel{\to }{BP}$，则（　　　）

在等差数列$\left\{a_n\right\}$中，$a_3=7,a_5=a_2+6$，则$a_5=$。

如图，在直四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ ，底面 $ABCD$ 为等腰梯形， $AB\parallel CD$ ， $AB=4$ ， $BC=CD=2$ ， $A{A}_1=2$ ,   $E,E_1$ 分别是棱 $AD,A{A}_1$ 的中点。

（1）设 $F$ 是棱 $AB$ 的中点，证明：直线 $E{F}_1\parallel$ 平面 $FC{C}_2$ ；
（2）证明：平面 $D_{1}AC$ ⊥平面 $B{B}_1{C}_{1}C$ .

等比数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和为 $S_n$，已知对任意的 $n\in N^{+}$，点 $(n,S_n)$，均在函数 $y=b^x+\gamma$( $b>0$且 $b\ne 1,b,\gamma$均为常数)的图像上.
（1）求 $\gamma$的值；
（11）当 $b=2$时，记 $b_n=\frac{n+1}{4a_n}(n\in N^{+})$，求数列 $\left\{b_n\right\}$的前 $n$项和 $T_n$.

已知函数$f\left(x\right)=\frac{1}{3}a{x}^3+b{x}^2+x+3$，其中$a\ne 0$.
（1）当$a,b$满足什么条件时，$f\left(x\right)$取得极值?
（2）已知$a>0$，且$f\left(x\right)$在区间(0,1]上单调递增，试用$a$表示出$b$的取值范围.