2012年全国统一高考理科数学试卷（陕西卷）

集合 $M=\{\overline{)x}lgx>0\}$， $N=\{\overline{)x}{x}^2\le 4\}$，则 $M\cap N=$（   ）

下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（   ）

设 $a,b\in R$， $i$是虚数单位，则" $ab=0$"是"复数 $a+\frac{b}{i}$为纯虚数"的（）

已知圆 $C:x^2+y^2-4x=0$， $l$过点 $P\left(3,0\right)$的直线，则（）

如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$， $CA=C{C}_1=2CB$，则直线 $B{C}_1$与直线 $A{B}_1$夹角的余弦值为（  ）

A．

B．

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

C．

$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

D．

$\frac{3}{5}$

从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为 $\overline{x_{甲}},\overline{x_{乙}}$，中位数分别为 $m_{甲}，m_{乙}$，则（  ）

设函数 $f\left(x\right)=x{e}^x$，则（）

两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（  ）

在 $∆ABC$中,角 $A,B,C$所对边长分别为 $a,b,c$,若 $a^2+b^2=2c^2$,则 $\cos C$的最小值为（）

下图是用模拟方法估计圆周率 $\pi$的程序框图， $p$表示估计结果，则图中空白框内应填入（）

观察下列不等式
$1+\frac{1}{2^2}<\frac{3}{2}$,

$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^3}<\frac{5}{3}$，
$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}<\frac{7}{4}$

……
照此规律，第五个不等式为.

${\left(a+5\right)}^5$展开式中 $x^2$的系数为10， 则实数 $a$的值为

如图是抛物线形拱桥，当水面在 $l$时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽米

设函数 $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}\ln x& x>0\\ -2x-1& x\le 0\end{array}\right.$, $D$是由 $x$轴和曲线 $y=f\left(x\right)$及该曲线在点 $\left(1,0\right)$处的切线所围成的封闭区域,则 $z=x-2y$在 $D$上的最大值为.

若存在实数 $x$使 $\left|x-a\right|+\left|x-1\right|\le 3$成立，则实数 $a$的取值范围是.

如图，在圆 $O$中，直径 $AB$与弦 $CD$垂直，垂足为 $E$， $EF\perp DB$，垂足为 $F$，若 $AB=6,AE=1$，则 $DF·DB$=.

直线 $2p\cos \theta =1$与圆 $p=2\cos \theta$相交的弦长为.

函数 $f\left(x\right)=A\sin (\omega x-\frac{\pi }{6})+1,(A>0,\omega >0)$的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{\pi }{2}$.
（1）求函数 $f\left(x\right)$的解析式；
（2）设 $\alpha \in (0,\frac{\pi }{2})$，则 $f\left(\frac{\alpha }{2}\right)=2$，求 $\alpha$的值

设 $\left\{a_n\right\}$的公比不为1的等比数列，其前 $n$项和为 $S_n$，且 $a_5,a_3,a_4$成等差数列。
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$的公比；（2）证明：对任意 $k\in N_{{+}_{}}$， $S_{k+2},S_k,S_{k+1}$成等差数列

（1）如图，证明命题"a是平面 $\pi$内的一条直线，b是 $\pi$外的一条直线（b不垂直于 $\pi$），c是直线b在 $\pi$上的投影，若 $a\perp b$，则 $a\perp c$"为真。
（2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）

已知椭圆 $C_1:\frac{x^2}{4}+y^2=1$，椭圆 $C_2$以 $C_1$的长轴为短轴，且与 $C_1$有相同的离心率。
（1）求椭圆 $C_2$的方程；
（2）设 $O$为坐标原点，点 $A,B$分别在椭圆 $C_1$和 $C_2$上， $\stackrel{\rightharpoonup }{OB}=2\stackrel{\rightharpoonup }{OA}$，求直线 $AB$的方程.

某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：

从第一个顾客开始办理业务时计时.
（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；
（2） $X$表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求 $X$的分布列及数学期望.

设函数 $f_n\left(x\right)=x^n+bx+c\left(n\in N_{+},b,c\in R\right)$

（1）设 $n\ge 2$， $b=1,c=-1$，证明： $f_n\left(x\right)$在区间 $\left(\frac{1}{2},1\right)$内存在唯一的零点；
（2）设 $n=2$，若对任意 $x_1,x_2$ $\in \left[-1,1\right]$，有 $\left|f_2\left(x_1\right)-f_2\left(x_2\right)\right|\le 4$，求 $b$的取值范围；

（3）在（1）的条件下，设 $x_n$是 $f_n\left(x\right)$在 $\left(\frac{1}{2},1\right)$内的零点，判断数列 $x_2,x_3,\dots ,x_n\dots$的增减性。