2018年全国统一高考理科数学试卷（天津卷）

设全集为R，集合 $A=\left\{x\left|0<x<2\right.\right\}$ ， $B=\left\{x\left|x\ge 1\right.\right\}$ ，则 $A\cap \left({\complement }_{R}B\right)=$ （   ）

设变量 x， y满足约束条件 $\left\{\begin{array}{c}x+y\le 5,\\ 2x-y\le 4,\\ -x+y\le 1,\\ y\ge 0,\hspace{1em}\end{array}\right.$ 则目标函数 $z=3x+5y$ 的最大值为（   ）

阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入 $N$ 的值为20，则输出 $T$ 的值为（   ）

设 $x\in R$ ，则" $|x-\frac{1}{2}|<\frac{1}{2}$ "是" $x^3<1$ "的（  ）

已知 $a=\mathit{log}{}_{2}e$ ， ， $c={\mathit{log}}_{\frac{1}{2}}\frac{1}{3}$ ，则 a， b， c的大小关系为（   ）

将函数 $y=\mathit{sin}(2x+\frac{\pi }{5})$ 的图象向右平移 $\frac{\pi }{10}$ 个单位长度，所得图象对应的函数（   ）

已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的离心率为2，过右焦点且垂直于 $x$ 轴的直线与双曲线交于 $A,B$ 两点.设 $A,B$ 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 $d_1$ 和 $d_2$ ，且 $d_1+d_2=6,$ 则双曲线的方程为（   ）

如图，在平面四边形 ABCD中， $\mathit{AB}\perp \mathit{BC},\mathit{AD}\perp \mathit{CD},\angle \mathit{BAD}=120^{\circ },\mathit{AB}=\mathit{AD}=1,$

若点 E为边 CD上的动点，则 $\stackrel{⃑}{\mathit{AE}}\cdot \stackrel{⃑}{\mathit{BE}}$ 的最小值为 （   ）

i是虚数单位，复数 $\frac{6+7i}{1+2i}=$___________.

在二项式 $(x-\frac{1}{2\sqrt{x}}{)}^5$的展开式中， $x^2$的系数为__________．

已知正方体 $\mathit{ABCD}-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的棱长为1，除面 $\mathit{ABCD}$ 外，该正方体其余各面的中心分别为点 E， F， G， H， M(如图)，则四棱锥 $M-\mathit{EFGH}$ 的体积为__________.

已知圆 $x^2+y^2-2x=0$的圆心为 $C$，直线 $\left\{\begin{array}{c}x=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}t,\\ y=3-\frac{\sqrt{2}}{2}t\end{array}\right.$（ $t$为参数）与该圆相交于 $A$、 $B$两点，则 $\mathit{\Delta ABC}$的面积为___________.

已知 $a,b\in R$，且 $a-3b+6=0$，则 $2^a+\frac{1}{8^b}$的最小值为_____________.

已知 $a>0$，函数 $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}{x}^2+2\mathit{ax}+a,x\le 0,\\ -x^2+2\mathit{ax}-2a,x>0.\end{array}\right.$若关于 $x$的方程 $f\left(x\right)=\mathit{ax}$恰有2个互异的实数解，则 $a$的取值范围是______________.

在 $△\mathit{ABC}$ 中，内角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c.已知 $b\mathit{sin}A=a\mathit{cos}\left(B-\frac{\pi }{6}\right)$ .

（1）求角 B的大小；

（2）设 a=2， c=3，求 b和 $\mathit{sin}\left(2A-B\right)$ 的值.

已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.

（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？

（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.

（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；

（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.

如图， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$ 且AD=2BC， $\mathit{AD}\perp \mathit{CD}$ , $\mathit{EG}//\mathit{AD}$ 且EG=AD， $\mathit{CD}//\mathit{FG}$ 且CD=2FG， $\mathit{DG}\perp \mathit{平面}\mathit{ABCD}$ ，DA=DC=DG=2.

（Ⅰ）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证： $\mathit{MN}\parallel \mathit{平面}\mathit{CDE}$ ；

（Ⅱ）求二面角 $E-\mathit{BC}-F$ 的正弦值；

（Ⅲ）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.

设 $\left\{a_n\right\}$是等比数列，公比大于0，其前n项和为 $S_n\left(n\in N^{*}\right)$， $\left\{b_n\right\}$是等差数列.已知 $a_1=1$， $a_3=a_2+2$， $a_4=b_3+b_5$， $a_5=b_4+2b_6$.

（I）求 $\left\{a_n\right\}$和 $\left\{b_n\right\}$的通项公式；

（II）设数列 $\left\{S_n\right\}$的前n项和为 $T_n\left(n\in N^{*}\right)$，

（i）求 $T_n$；

（ii）证明 $\underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{\left(T_k+b_{k+2}\right)b_k}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\frac{2^{n+2}}{n+2}-2\left(n\in N^{*}\right)$.

设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，点A的坐标为 $\left(b,0\right)$ ，且 $\left|\mathit{FB}\right|\cdot \left|\mathit{AB}\right|=6\sqrt{2}$ .

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线l： $y=\mathit{kx}(k>0)$ 与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q. 若 $\frac{\left|\mathit{AQ}\right|}{\left|\mathit{PQ}\right|}=\frac{5\sqrt{2}}{4}\text{sin}\angle \mathit{AOQ}$ (O为原点) ，求k的值.

已知函数 $f\left(x\right)=a^x$ ， $g\left(x\right)=\text{lo}{\text{g}}_{a}x$ ，其中 a>1.

（I）求函数 $h\left(x\right)=f\left(x\right)-x\text{ln}a$ 的单调区间；

（II）若曲线 $y=f\left(x\right)$ 在点 $\left(x_1,f\left(x_1\right)\right)$ 处的切线与曲线 $y=g\left(x\right)$ 在点 $\left(x_2,g\left(x_2\right)\right)$ 处的切线平行，证明 $x_1+g\left(x_2\right)=-\frac{2\text{lnln}a}{\text{ln}a}$ ；

（III）证明当 $a\ge e^{\frac{1}{e}}$ 时，存在直线 l，使 l是曲线 $y=f\left(x\right)$ 的切线，也是曲线 $y=g\left(x\right)$ 的切线.