2020年全国统一高考数学试卷（江苏卷）

已知集合 $A=\{-1,0,1,2\},B=\{0,2,3\}$，则 $A\cap B=$_____.

已知 $i$是虚数单位，则复数 $z=(1+i)(2-i)$的实部是_____.

已知一组数据 $4,2a,3-a,5,6$的平均数为4，则 $a$的值是_____.

将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.

如图是一个算法流程图，若输出 $y$ 的值为 $-2$ ，则输入 $x$ 的值是_____.

在平面直角坐标系xOy中，若双曲线 $\frac{x^2}{a^2}$﹣ $\frac{y^2}{5}$=1(a＞0)的一条渐近线方程为y= $\frac{\sqrt{5}}{2}$x，则该双曲线的离心率是____.

已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， $f\left(x\right)=x^{\frac{2}{3}}$ ，则f(-8)的值是____.

已知 ${\mathit{sin}}^2(\frac{\pi }{4}+\alpha )$ = $\frac{2}{3}$，则 $\mathit{sin}2\alpha$的值是____.

如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半轻为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.

将函数y= $3\mathit{sin}(2x﹢\frac{\pi }{4})$的图象向右平移 $\frac{\pi }{6}$个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____.

设{a_n}是公差为d的等差数列，{b_n}是公比为q的等比数列．已知数列{a_n+b_n}的前n项和 $S_n=n^2-n+2^n-1(n\in N^{+})$，则d+q的值是_______．

已知 $5x^2{y}^2+y^4=1(x,y\in R)$，则 $x^2+y^2$的最小值是_______．

在△ ABC中， $\mathit{AB}=4，\mathit{AC}=3，\angle \mathit{BAC}=90°，$ D在边 BC上，延长 AD到 P，使得 AP=9，若 $\overrightarrow{\mathit{PA}}=m\overrightarrow{\mathit{PB}}+(\frac{3}{2}-m)\overrightarrow{\mathit{PC}}$ （ m为常数），则 CD的长度是________．

在平面直角坐标系xOy中，已知 $P\left(\frac{\sqrt{3}}{2}，0\right)$，A，B是圆C： $x^2+(y-\frac{1}{2}{)}^2=36$上的两个动点，满足 $\mathit{PA}=\mathit{PB}$，则△PAB面积的最大值是__________．

在三棱柱 ABC- A ₁ B ₁ C ₁中， AB⊥ AC， B ₁ C⊥平面 ABC， E， F分别是 AC， B ₁ C的中点．

（1）求证： EF∥平面 AB ₁ C ₁；

（2）求证：平面 AB ₁ C⊥平面 ABB ₁．

在△ ABC中，角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，已知 $a=3,c=\sqrt{2},B=45°$ ．

（1）求 $\mathit{sin}C$ 的值；

（2）在边 BC上取一点 D，使得 $\mathit{cos}\angle \mathit{ADC}=-\frac{4}{5}$ ，求 $\mathit{tan}\angle \mathit{DAC}$ 的值．

某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底 O在水平线 MN上、桥 AB与 MN平行， $O{O}^{\text{'}}$ 为铅垂线( $O^{\text{'}}$ 在 AB上).经测量，左侧曲线 AO上任一点 D到 MN的距离 $h_1$ (米)与 D到 $O{O}^{\text{'}}$ 的距离 a(米)之间满足关系式 $h_1=\frac{1}{40}{a}^2$ ；右侧曲线 BO上任一点 F到 MN的距离 $h_2$ (米)与 F到 $O{O}^{\text{'}}$ 的距离 b(米)之间满足关系式 $h_2=-\frac{1}{800}{b}^3+6b$ .已知点 B到 $O{O}^{\text{'}}$ 的距离为40米.

（1）求桥 AB的长度；

（2）计划在谷底两侧建造平行于 $O{O}^{\text{'}}$ 的桥墩 CD和 EF，且 CE为80米，其中 C， E在 AB上(不包括端点).桥墩 EF每米造价 k(万元)、桥墩 CD每米造价 $\frac{3}{2}k$ (万元)( k>0).问 $O^{\text{'}}E$ 为多少米时，桥墩 CD与 EF的总造价最低?

在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆 $E:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ 的左、右焦点分别为 F ₁， F ₂，点 A在椭圆 E上且在第一象限内， AF ₂⊥ F ₁ F ₂，直线 AF ₁与椭圆 E相交于另一点 B．

（1）求△ AF ₁ F ₂的周长；

（2）在 x轴上任取一点 P，直线 AP与椭圆 E的右准线相交于点 Q，求 $\overrightarrow{\mathit{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathit{QP}}$ 的最小值；

（3）设点 M在椭圆 E上，记△ OAB与△ MAB的面积分别为 S ₁， S ₂，若 S ₂=3 S ₁，求点 M的坐标．

已知关于x的函数 $y=f\left(x\right),y=g\left(x\right)$与 $h\left(x\right)=\mathit{kx}+b(k,b\in R)$在区间D上恒有 $f\left(x\right)\ge h\left(x\right)\ge g\left(x\right)$．

（1）若 $f\left(x\right)=x^2+2x，g\left(x\right)=-x^2+2x，D=(-\infty ，+\infty )$，求h(x)的表达式；

（2）若 $f\left(x\right)=x^2-x+1，g\left(x\right)=\mathit{k}\mathit{ln}x，h\left(x\right)=\mathit{kx}-k,D=(0，+\infty )$，求k的取值范围；

（3）若 $f\left(x\right)=x^4-2x^2，g\left(x\right)=4x^2-8，h\left(x\right)=4\left(t^2-t\right)x-3t^4+2t^2(0<\left|\mathit{t}\right|\le \sqrt{2})，D=\left[m,\mathit{n}\right]\subseteq \left[-\sqrt{2},\sqrt{2}\right]，$求证： $n-m\le \sqrt{7}$．

已知数列 $\left\{a_n\right\}(n\in N^{*})$的首项a₁=1，前n项和为S_n．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有 ${S_{n+1}}^{\frac{1}{k}}-{S_n}^{\frac{1}{k}}=\lambda {a_{n+1}}^{\frac{1}{k}}$成立，则称此数列为“λ–k”数列．

（1）若等差数列 $\left\{a_n\right\}$是“λ–1”数列，求λ的值；

（2）若数列 $\left\{a_n\right\}$是“ $\frac{\sqrt{3}}{3}-2$”数列，且a_n＞0，求数列 $\left\{a_n\right\}$的通项公式；

（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列 $\left\{a_n\right\}$为“λ–3”数列，且a_n≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，

平面上点 $A(2,-1)$在矩阵 $M=\left[\begin{array}{c}\mathit{a\hspace{1em}}1\\ -1\mathit{\hspace{1em}b}\end{array}\right]$对应的变换作用下得到点 $B(3,-4)$．

（1）求实数 $a$， $b$的值；

（2）求矩阵 $M$的逆矩阵 $M^{-1}$．

在极坐标系中，已知点 $A({\rho }_1,\frac{\pi }{3})$在直线 $l:\rho \mathit{cos}\theta =2$上，点 $B({\rho }_2,\frac{\pi }{6})$在圆 $C:\rho =4\mathit{sin}\theta$上（其中 $\rho \ge 0$， $0\le \theta <2\pi$）．

（1）求 ${\rho }_1$， ${\rho }_2$的值

（2）求出直线 $l$与圆 $C$的公共点的极坐标．

设，解不等式 $2|x+1|+\left|x\right|\le 4$．

在三棱锥 A- BCD中，已知 CB= CD= $\sqrt{5}$ , BD=2， O为 BD的中点， AO⊥平面 BCD， AO=2， E为 AC的中点．

（1）求直线 AB与 DE所成角的余弦值；

（2）若点 F在 BC上，满足 BF= $\frac{1}{4}$ BC，设二面角 F- DE- C的大小为 θ，求sin θ的值．

甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X_n，恰有2个黑球的概率为p_n，恰有1个黑球的概率为q_n．

（1）求p₁·q₁和p₂·q₂；

（2）求2p_n+q_n与2p_n-1+q_n-1的递推关系式和X_n的数学期望E(X_n)(用n表示) ．