2021年四川省南充市中考数学试卷（含答案与解析）

满足 $x⩽3$ 的最大整数 $x$ 是 $($ 　　 $)$

数轴上表示数 $m$ 和 $m+2$ 的点到原点的距离相等，则 $m$ 为 $($ 　　 $)$

如图，点 $O$ 是 $▱\mathit{ABCD}$ 对角线的交点， $\mathit{EF}$ 过点 $O$ 分别交 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{BC}$ 于点 $E$ ， $F$ ，下列结论成立的是 $($ 　　 $)$

据统计，某班7个学习小组上周参加"青年大学习"的人数分别为：5，5，6，6，6，7，7．下列说法错误的是 $($ 　　 $)$

端午节买粽子，每个肉粽比素粽多1元，购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，设每个肉粽 $x$ 元，则可列方程为 $($ 　　 $)$

下列运算正确的是 $($ 　　 $)$

如图， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径，弦 $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$ 于点 $E$ ， $\mathit{CD}=2\mathit{OE}$ ，则 $\angle \mathit{BCD}$ 的度数为 $($ 　　 $)$

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\angle A=60°$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BC}$ 上， $\mathit{AE}=\mathit{BF}=2$ ， $\mathit{\Delta DEF}$ 的周长为 $3\sqrt{6}$ ，则 $\mathit{AD}$ 的长为 $($ 　　 $)$

已知方程 $x^2-2021x+1=0$ 的两根分别为 $x_1$ ， $x_2$ ，则 $x_1^2-\frac{2021}{x_2}$ 的值为 $($ 　　 $)$

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=15$ ， $\mathit{BC}=20$ ，把边 $\mathit{AB}$ 沿对角线 $\mathit{BD}$ 平移，点 $A\text{'}$ ， $B\text{'}$ 分别对应点 $A$ ， $B$ 给出下列结论：

①顺次连接点 $A\text{'}$ ， $B\text{'}$ ， $C$ ， $D$ 的图形是平行四边形；

②点 $C$ 到它关于直线 $\mathit{AA}\text{'}$ 的对称点的距离为48；

③ $A\text{'}C-B\text{'}C$ 的最大值为15；

④ $A\text{'}C+B\text{'}C$ 的最小值为 $9\sqrt{17}$ ．

其中正确结论的个数是 $($ 　　 $)$

如果 $x^2=4$，则 $x=$　　．

在 $-2$， $-1$，1，2这四个数中随机取出一个数，其倒数等于本身的概率是 　　．

如图，点 $E$是矩形 $\mathit{ABCD}$边 $\mathit{AD}$上一点，点 $F$， $G$， $H$分别是 $\mathit{BE}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{CE}$的中点， $\mathit{AF}=3$，则 $\mathit{GH}$的长为 　　．

若 $\frac{n+m}{n-m}=3$，则 $\frac{m^2}{n^2}+\frac{n^2}{m^2}=$　　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $D$为 $\mathit{BC}$上一点， $\mathit{BC}=\sqrt{3}\mathit{AB}=3\mathit{BD}$，则 $\mathit{AD}:\mathit{AC}$的值为 　　．

关于抛物线 $y=a{x}^2-2x+1(a\ne 0)$，给出下列结论：

①当 $a<0$时，抛物线与直线 $y=2x+2$没有交点；

②若抛物线与 $x$轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点 $(0,0)$与 $(1,0)$之间；

③若抛物线的顶点在点 $(0,0)$， $(2,0)$， $(0,2)$围成的三角形区域内（包括边界），则 $a⩾1$．

其中正确结论的序号是 　　．

先化简，再求值： $(2x+1)(2x-1)-{(2x-3)}^2$，其中 $x=-1$．

如图， $\angle \mathit{BAC}=90°$， $\mathit{AD}$是 $\angle \mathit{BAC}$内部一条射线，若 $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{BE}\perp \mathit{AD}$于点 $E$， $\mathit{CF}\perp \mathit{AD}$于点 $F$．求证： $\mathit{AF}=\mathit{BE}$．

某市体育中考自选项目有乒乓球、篮球和羽毛球，每个考生任选一项作为自选考试项目．

（1）求考生小红和小强自选项目相同的概率；

（2）除自选项目之外，长跑和掷实心球为必考项目．小红和小强的体育中考各项成绩（百分制）的统计图表如下：

①补全条形统计图．

②如果体育中考按自选项目占 $50\%$、长跑占 $30\%$、掷实心球占 $20\%$计算成绩（百分制），分别计算小红和小强的体育中考成绩．

已知关于 $x$的一元二次方程 $x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$．

（1）求证：无论 $k$取何值，方程都有两个不相等的实数根．

（2）如果方程的两个实数根为 $x_1$， $x_2$，且 $k$与 $\frac{x_1}{x_2}$都为整数，求 $k$所有可能的值．

如图，反比例函数的图象与过点 $A(0,-1)$， $B(4,1)$的直线交于点 $B$和 $C$．

（1）求直线 $\mathit{AB}$和反比例函数的解析式；

（2）已知点 $D(-1,0)$，直线 $\mathit{CD}$与反比例函数图象在第一象限的交点为 $E$，直接写出点 $E$的坐标，并求 $\mathit{\Delta BCE}$的面积．

如图， $A$， $B$是 $\odot O$上两点，且 $\mathit{AB}=\mathit{OA}$，连接 $\mathit{OB}$并延长到点 $C$，使 $\mathit{BC}=\mathit{OB}$，连接 $\mathit{AC}$．

（1）求证： $\mathit{AC}$是 $\odot O$的切线；

（2）点 $D$， $E$分别是 $\mathit{AC}$， $\mathit{OA}$的中点， $\mathit{DE}$所在直线交 $\odot O$于点 $F$， $G$， $\mathit{OA}=4$，求 $\mathit{GF}$的长．

超市购进某种苹果，如果进价增加2元 $/$千克要用300元；如果进价减少2元 $/$千克，同样数量的苹果只用200元．

（1）求苹果的进价；

（2）如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过部分购进价格减少2元 $/$千克，写出购进苹果的支出 $y$（元 $)$与购进数量 $x$（千克）之间的函数关系式；

（3）超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完，据统计，销售单价 $z$（元 $/$千克）与一天销售数量 $x$（千克）的关系为 $z=-\frac{1}{100}x+12$．在（2）的条件下，要使超市销售苹果利润 $w$（元 $)$最大，求一天购进苹果数量．（利润 $=$销售收入 $-$购进支出）

如图，点 $E$在正方形 $\mathit{ABCD}$边 $\mathit{AD}$上，点 $F$是线段 $\mathit{AB}$上的动点（不与点 $A$重合）， $\mathit{DF}$交 $\mathit{AC}$于点 $G$， $\mathit{GH}\perp \mathit{AD}$于点 $H$， $\mathit{AB}=1$， $\mathit{DE}=\frac{1}{3}$．

（1）求 $\tan \angle \mathit{ACE}$；

（2）设 $\mathit{AF}=x$， $\mathit{GH}=y$，试探究 $y$与 $x$的函数关系式（写出 $x$的取值范围）；

（3）当 $\angle \mathit{ADF}=\angle \mathit{ACE}$时，判断 $\mathit{EG}$与 $\mathit{AC}$的位置关系并说明理由．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4(a\ne 0)$与 $x$轴交于点 $A(1,0)$和 $B$，与 $y$轴交于点 $C$，对称轴为直线 $x=\frac{5}{2}$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，若点 $P$是线段 $\mathit{BC}$上的一个动点（不与点 $B$， $C$重合），过点 $P$作 $y$轴的平行线交抛物线于点 $Q$，连接 $\mathit{OQ}$，当线段 $\mathit{PQ}$长度最大时，判断四边形 $\mathit{OCPQ}$的形状并说明理由；

（3）如图2，在（2）的条件下， $D$是 $\mathit{OC}$的中点，过点 $Q$的直线与抛物线交于点 $E$，且 $\angle \mathit{DQE}=2\angle \mathit{ODQ}$．在 $y$轴上是否存在点 $F$，得 $\mathit{\Delta BEF}$为等腰三角形？若存在，求点 $F$的坐标；若不存在，请说明理由．