2021年山东省泰安市中考数学试卷（含答案与解析）

下列各数： $-4$ ， $-2.8$ ，0， $|-4|$ ，其中比 $-3$ 小的数是 $($ 　　 $)$

下列运算正确的是 $($ 　　 $)$

如图是由若干个同样大小的小正方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是 $($ 　　 $)$

如图，直线 $m//n$ ，三角尺的直角顶点在直线 $m$ 上，且三角尺的直角被直线 $m$ 平分，若 $\angle 1=60°$ ，则下列结论错误的是 $($ 　　 $)$

为了落实"作业、睡眠、手机、读物、体质"等五项管理要求，了解学生的睡眠状况，调查了一个班50名学生每天的睡眠时间，绘成睡眠时间频数分布直方图如图所示，则所调查学生睡眠时间的众数，中位数分别为 $($ 　　 $)$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=6$ ，以点 $A$ 为圆心，3为半径的圆与边 $\mathit{BC}$ 相切于点 $D$ ，与 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{AB}$ 分别交于点 $E$ 和点 $G$ ，点 $F$ 是优弧 $\mathit{GE}$ 上一点， $\angle \mathit{CDE}=18°$ ，则 $\angle \mathit{GFE}$ 的度数是 $($ 　　 $)$

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $k{x}^2-(2k-1)x+k-2=0$ 有两个不相等的实数根，则实数 $k$ 的取值范围是 $($ 　　 $)$

将抛物线 $y=-x^2-2x+3$ 的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过 $($ 　　 $)$

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$ 是 $\odot O$ 的内接四边形， $\angle B=90°$ ， $\angle \mathit{BCD}=120°$ ， $\mathit{AB}=2$ ， $\mathit{CD}=1$ ，则 $\mathit{AD}$ 的长为 $($ 　　 $)$

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $E$ 是 $\mathit{BD}$ 的中点，则下列四个结论：

① $\mathit{AM}=\mathit{CN}$ ；

②若 $\mathit{MD}=\mathit{AM}$ ， $\angle A=90°$ ，则 $\mathit{BM}=\mathit{CM}$ ；

③若 $\mathit{MD}=2\mathit{AM}$ ，则 $S_{\mathit{\Delta MNC}}=S_{\mathit{\Delta BNE}}$ ；

④若 $\mathit{AB}=\mathit{MN}$ ，则 $\mathit{\Delta MFN}$ 与 $\mathit{\Delta DFC}$ 全等．

其中正确结论的个数为 $($ 　　 $)$

如图，为了测量某建筑物 $\mathit{BC}$ 的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端 $B$ 在同一水平线上的 $A$ 点出发，沿斜坡 $\mathit{AD}$ 行走130米至坡顶 $D$ 处，再从 $D$ 处沿水平方向继续前行若干米后至点 $E$ 处，在 $E$ 点测得该建筑物顶端 $C$ 的仰角为 $60°$ ，建筑物底端 $B$ 的俯角为 $45°$ ，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 在同一平面内，斜坡 $\mathit{AD}$ 的坡度 $i=1:2.4$ ．根据小颖的测量数据，计算出建筑物 $\mathit{BC}$ 的高度约为（参考数据： $\sqrt{3}\approx 1.732\left)\right($ 　　 $)$

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=5$ ， $\mathit{BC}=5\sqrt{3}$ ，点 $P$ 在线段 $\mathit{BC}$ 上运动（含 $B$ 、 $C$ 两点），连接 $\mathit{AP}$ ，以点 $A$ 为中心，将线段 $\mathit{AP}$ 逆时针旋转 $60°$ 到 $\mathit{AQ}$ ，连接 $\mathit{DQ}$ ，则线段 $\mathit{DQ}$ 的最小值为 $($ 　　 $)$

2021年5月15日7时18分，天问一号着陆巡视器成功着陆于火星，我国首次火星探测任务着陆火星取得圆满成功．探测器距离地球约3.2亿千米．数据3.2亿千米用科学记数法可以表示为 　　千米．

《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其 $\frac{2}{3}$的钱给乙，则乙的钱数也为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为 $x$，乙的钱数为 $y$，根据题意，可列方程组为 　　．

如图是抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的部分图象，图象过点 $(3,0)$ ，对称轴为直线 $x=1$ ，有下列四个结论：① $\mathit{abc}>0$ ；② $a-b+c=0$ ；③ $y$ 的最大值为3；④方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c+1=0$ 有实数根．其中正确的为 　　（将所有正确结论的序号都填入）．

若 $\mathit{\Delta ABC}$ 为直角三角形， $\mathit{AC}=\mathit{BC}=4$ ，以 $\mathit{BC}$ 为直径画半圆如图所示，则阴影部分的面积为 　　．

如图，将矩形纸片 $\mathit{ABCD}$ 折叠 $(\mathit{AD}>\mathit{AB})$ ，使 $\mathit{AB}$ 落在 $\mathit{AD}$ 上， $\mathit{AE}$ 为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上， $E$ 点不动，将 $\mathit{BE}$ 边折起，使点 $B$ 落在 $\mathit{AE}$ 上的点 $G$ 处，连接 $\mathit{DE}$ ，若 $\mathit{DE}=\mathit{EF}$ ， $\mathit{CE}=2$ ，则 $\mathit{AD}$ 的长为 　　．

如图，点 $B_1$ 在直线 $l:y=\frac{1}{2}x$ 上，点 $B_1$ 的横坐标为2，过点 $B_1$ 作 $B_1{A}_1\perp l$ ，交 $x$ 轴于点 $A_1$ ，以 $A_1{B}_1$ 为边，向右作正方形 $A_1{B}_1{B}_2{C}_1$ ，延长 $B_2{C}_1$ 交 $x$ 轴于点 $A_2$ ；以 $A_2{B}_2$ 为边，向右作正方形 $A_2{B}_2{B}_3{C}_2$ ，延长 $B_3{C}_2$ 交 $x$ 轴于点 $A_3$ ；以 $A_3{B}_3$ 为边，向右作正方形 $A_3{B}_3{B}_4{C}_3$ ，延长 $B_4{C}_3$ 交 $x$ 轴于点 $A_4$ ； $\dots$ ；照这个规律进行下去，则第 $n$ 个正方形 $A_n{B}_n{B}_{n+1}{C}_n$ 的边长为 　   

　          （结果用含正整数 $n$ 的代数式表示）．

（1）先化简，再求值： $(\frac{3a-1}{a+1}-a+1)÷\frac{a^2-6a+9}{a+1}$，其中 $a=\sqrt{3}+3$；

（2）解不等式： $1-\frac{7x-1}{8}>\frac{3x-2}{4}$．

为庆祝中国共产党成立100周年，落实教育部《关于在中小学组织开展“从小学党史，永远跟党走”主题教育活动的通知》要求，某学校举行党史知识竞赛，随机调查了部分学生的竞赛成绩，绘制成两幅不完整的统计图表．根据统计图表提供的信息，解答下列问题：

（1）本次共调查了 　　名学生； $C$组所在扇形的圆心角为 　　度；

（2）该校共有学生1600人，若90分以上为优秀，估计该校优秀学生人数为多少？

（3）若 $E$组14名学生中有4人满分，设这4名学生为 $E1$， $E2$， $E3$， $E4$，从其中抽取2名学生代表学校参加上一级比赛，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到 $E1$， $E2$的概率．

竞赛成绩统计表（成绩满分100分）

如图，点 $P$ 为函数 $y=\frac{1}{2}x+1$ 与函数 $y=\frac{m}{x}(x>0)$ 图象的交点，点 $P$ 的纵坐标为4， $\mathit{PB}\perp x$ 轴，垂足为点 $B$ ．

（1）求 $m$ 的值；

（2）点 $M$ 是函数 $y=\frac{m}{x}(x>0)$ 图象上一动点，过点 $M$ 作 $\mathit{MD}\perp \mathit{BP}$ 于点 $D$ ，若 $\tan \angle \mathit{PMD}=\frac{1}{2}$ ，求点 $M$ 的坐标．

接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂．

（1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？

（2）生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该厂共760万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？

四边形 $\mathit{ABCD}$ 为矩形， $E$ 是 $\mathit{AB}$ 延长线上的一点．

（1）若 $\mathit{AC}=\mathit{EC}$ ，如图1，求证：四边形 $\mathit{BECD}$ 为平行四边形；

（2）若 $\mathit{AB}=\mathit{AD}$ ，点 $F$ 是 $\mathit{AB}$ 上的点， $\mathit{AF}=\mathit{BE}$ ， $\mathit{EG}\perp \mathit{AC}$ 于点 $G$ ，如图2，求证： $\mathit{\Delta DGF}$ 是等腰直角三角形．

二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4(a\ne 0)$ 的图象经过点 $A(-4,0)$ ， $B(1,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $P$ 为第二象限内抛物线上一点，连接 $\mathit{BP}$ 、 $\mathit{AC}$ ，交于点 $Q$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PD}\perp x$ 轴于点 $D$ ．

（1）求二次函数的表达式；

（2）连接 $\mathit{BC}$ ，当 $\angle \mathit{DPB}=2\angle \mathit{BCO}$ 时，求直线 $\mathit{BP}$ 的表达式；

（3）请判断： $\frac{\mathit{PQ}}{\mathit{QB}}$ 是否有最大值，如有请求出有最大值时点 $P$ 的坐标，如没有请说明理由．

如图1， $O$ 为半圆的圆心， $C$ 、 $D$ 为半圆上的两点，且 $\stackrel{̂}{\mathit{BD}}=\stackrel{̂}{\mathit{CD}}$ ．连接 $\mathit{AC}$ 并延长，与 $\mathit{BD}$ 的延长线相交于点 $E$ ．

（1）求证： $\mathit{CD}=\mathit{ED}$ ；

（2） $\mathit{AD}$ 与 $\mathit{OC}$ ， $\mathit{BC}$ 分别交于点 $F$ ， $H$ ．

①若 $\mathit{CF}=\mathit{CH}$ ，如图2，求证： $\mathit{CF}\cdot \mathit{AF}=\mathit{FO}\cdot \mathit{AH}$ ；

②若圆的半径为2， $\mathit{BD}=1$ ，如图3，求 $\mathit{AC}$ 的值．