2019年湖北省襄阳市中考数学试卷

计算 $|-3|$ 的结果是 $($ 　　 $)$

下列运算正确的是 $($ 　　 $)$

如图，直线 $\mathit{BC}//\mathit{AE}$ ， $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$ 于点 $D$ ，若 $\angle \mathit{BCD}=40°$ ，则 $\angle 1$ 的度数是 $($ 　　 $)$

某正方体的平面展开图如图所示，则原正方体中与"春"字所在的面相对的面上的字是 $($ 　　 $)$

下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 $($ 　　 $)$

不等式组 $\left\{\begin{array}{c}2x<x+4\\ 3+x⩾3x+9\end{array}\right.$ 的解集在数轴上用阴影表示正确的是 $($ 　　 $)$

如图，分别以线段 $\mathit{AB}$ 的两个端点为圆心，大于 $\mathit{AB}$ 的一半的长为半径画弧，两弧分别交于 $C$ ， $D$ 两点，连接 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BC}$ ， $\mathit{AD}$ ， $\mathit{BD}$ ，则四边形 $\mathit{ADBC}$ 一定是 $($ 　　 $)$

下列说法错误的是 $($ 　　 $)$

《九章算术》是我国古代数学名著，卷七"盈不足"中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为 $x$ 人，所列方程正确的是 $($ 　　 $)$

如图， $\mathit{AD}$ 是 $\odot O$ 的直径， $\mathit{BC}$ 是弦，四边形 $\mathit{OBCD}$ 是平行四边形， $\mathit{AC}$ 与 $\mathit{OB}$ 相交于点 $P$ ，下列结论错误的是 $($ 　　 $)$

习总书记指出，善于学习，就是善于进步．“学习强国”平台上线后的某天，全国大约有1.2亿人在平台上学习．1.2亿这个数用科学记数法表示为　　．

定义：$a*b=\frac{a}{b}$，则方程$2*(x+3)=1*\left(2x\right)$的解为　　．

从2，3，4，6中随机选取两个数记作$a$和$b(a<b)$，那么点$(a,b)$在直线$y=2x$上的概率是　　．

如图，已知$\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{DCB}$，添加下列条件中的一个：①$\angle A=\angle D$，②$\mathit{AC}=\mathit{DB}$，③$\mathit{AB}=\mathit{DC}$，其中不能确定$\mathit{\Delta ABC}\cong \mathit{\Delta DCB}$的是　　（只填序号）．

如图，若被击打的小球飞行高度$h$（单位：$m)$与飞行时间$t$（单位：$s)$之间具有的关系为$h=20t-5t^2$，则小球从飞出到落地所用的时间为　　$s$．

如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点$C$，点$D$在$\mathit{AB}$上，

$\angle \mathit{BAC}=\angle \mathit{DEC}=30°$，$\mathit{AC}$与$\mathit{DE}$交于点$F$，连接$\mathit{AE}$，若$\mathit{BD}=1$，$\mathit{AD}=5$，则$\frac{\mathit{CF}}{\mathit{EF}}=$　　．

先化简，再求值：$(\frac{x}{x-1}-1)÷\frac{x^2+2x+1}{x^2-1}$，其中$x=\sqrt{2}-1$．

今年是中华人民共和国建国70周年，襄阳市某学校开展了“我和我的祖国”主题学习竞赛活动．学校3000名学生全部参加了竞赛，结果所有学生成绩都不低于60分（满分100分）．为了了解成绩分布情况，学校随机抽取了部分学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计表．根据表中所给信息，解答下列问题：

（1）表中$a=$　　，$b=$　　；

（2）这组数据的中位数落在　　范围内；

（3）判断：这组数据的众数一定落在$70⩽x<80$范围内，这个说法　　（填“正确”或“错误” $)$；

（4）这组数据用扇形统计图表示，成绩在$80⩽x<90$范围内的扇形圆心角的大小为　　；

（5）若成绩不小于80分为优秀，则全校大约有　　名学生获得优秀成绩．

改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长$\left(\mathit{AD}\right)16m$，宽$\left(\mathit{AB}\right)9m$的矩形场地$\mathit{ABCD}$上修建三条同样宽的小路，其中两条与$\mathit{AB}$平行，另一条与$\mathit{AD}$平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为$112m^2$，则小路的宽应为多少？

襄阳卧龙大桥横跨汉江，是我市标志性建筑之一．某校数学兴趣小组在假日对竖立的索塔在桥面以上的部分（上塔柱$\mathit{BC}$和塔冠$\mathit{BE})$进行了测量．如图所示，最外端的拉索$\mathit{AB}$的底端$A$到塔柱底端$C$的距离为$121m$，拉索$\mathit{AB}$与桥面$\mathit{AC}$的夹角为$37°$，从点$A$出发沿$\mathit{AC}$方向前进$23.5m$，在$D$处测得塔冠顶端$E$的仰角为$45°$．请你求出塔冠$\mathit{BE}$的高度（结果精确到$0.1m$．参考数据$\sin 37°\approx 0.60$，$\cos 37°\approx 0.80$，$\tan 37°\approx 0.75$，$\sqrt{2}\approx 1.41)$．

如图，已知一次函数$y_1=\mathit{kx}+b$与反比例函数$y_2=\frac{m}{x}$的图象在第一、第三象限分别交于$A(3,4)$，$B(a,-2)$两点，直线$\mathit{AB}$与$y$轴，$x$轴分别交于$C$，$D$两点．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）比较大小：$\mathit{AD}$　　$\mathit{BC}$（填“$>$”或“$<$”或“$=$” $)$；

（3）直接写出$y_1<y_2$时$x$的取值范围．

如图，点$E$是$\mathit{\Delta ABC}$的内心，$\mathit{AE}$的延长线和$\mathit{\Delta ABC}$的外接圆$\odot O$相交于点$D$，过$D$作直线$\mathit{DG}//\mathit{BC}$．

（1）求证：$\mathit{DG}$是$\odot O$的切线；

（2）若$\mathit{DE}=6$，$\mathit{BC}=6\sqrt{3}$，求优弧$\widehat{\mathit{BAC}}$的长．

襄阳市某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜．某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查，这两种蔬菜的进价和售价如下表所示：

（1）该超市购进甲种蔬菜$10\mathit{kg}$和乙种蔬菜$5\mathit{kg}$需要170元；购进甲种蔬菜$6\mathit{kg}$和乙种蔬菜$10\mathit{kg}$需要200元．求$m$，$n$的值；

（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共$100\mathit{kg}$进行销售，其中甲种蔬菜的数量不少于$20\mathit{kg}$，且不大于$70\mathit{kg}$．实际销售时，由于多种因素的影响，甲种蔬菜超过$60\mathit{kg}$的部分，当天需要打5折才能售完，乙种蔬菜能按售价卖完．求超市当天售完这两种蔬菜获得的利润额$y$（元$)$与购进甲种蔬菜的数量$x\left(\mathit{kg}\right)$之间的函数关系式，并写出$x$的取值范围；

（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润额$y$（元$)$取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出$2a$元，乙种蔬菜每千克捐出$a$元给当地福利院，若要保证捐款后的盈利率不低于$20\%$，求$a$的最大值．

（1）证明推断：如图（1），在正方形$\mathit{ABCD}$中，点$E$，$Q$分别在边$\mathit{BC}$，$\mathit{AB}$上，$\mathit{DQ}\perp \mathit{AE}$于点$O$，点$G$，$F$分别在边$\mathit{CD}$，$\mathit{AB}$上，$\mathit{GF}\perp \mathit{AE}$．

①求证：$\mathit{DQ}=\mathit{AE}$；

②推断：$\frac{\mathit{GF}}{\mathit{AE}}$的值为　　；

（2）类比探究：如图（2），在矩形$\mathit{ABCD}$中，$\frac{\mathit{BC}}{\mathit{AB}}=k(k$为常数）．将矩形$\mathit{ABCD}$沿$\mathit{GF}$折叠，使点$A$落在$\mathit{BC}$边上的点$E$处，得到四边形$\mathit{FEPG}$，$\mathit{EP}$交$\mathit{CD}$于点$H$，连接$\mathit{AE}$交$\mathit{GF}$于点$O$．试探究$\mathit{GF}$与$\mathit{AE}$之间的数量关系，并说明理由；

（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接$\mathit{CP}$，当$k=\frac{2}{3}$时，若$\tan \angle \mathit{CGP}=\frac{3}{4}$，$\mathit{GF}=2\sqrt{10}$，求$\mathit{CP}$的长．

如图，在直角坐标系中，直线$y=-\frac{1}{2}x+3$与$x$轴，$y$轴分别交于点$B$，点$C$，对称轴为$x=1$的抛物线过$B$，$C$两点，且交$x$轴于另一点$A$，连接$\mathit{AC}$．

（1）直接写出点$A$，点$B$，点$C$的坐标和抛物线的解析式；

（2）已知点$P$为第一象限内抛物线上一点，当点$P$到直线$\mathit{BC}$的距离最大时，求点$P$的坐标；

（3）抛物线上是否存在一点$Q$（点$C$除外），使以点$Q$，$A$，$B$为顶点的三角形与$\mathit{\Delta ABC}$相似？若存在，求出点$Q$的坐标；若不存在，请说明理由．