襄阳市某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜．某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查，这两种蔬菜的进价和售价如下表所示：

有机蔬菜种类	进价（元$/\mathit{kg})$	售价（元$/\mathit{kg})$
甲	$m$	16
乙	$n$	18

（1）该超市购进甲种蔬菜$10\mathit{kg}$和乙种蔬菜$5\mathit{kg}$需要170元；购进甲种蔬菜$6\mathit{kg}$和乙种蔬菜$10\mathit{kg}$需要200元．求$m$，$n$的值；

（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共$100\mathit{kg}$进行销售，其中甲种蔬菜的数量不少于$20\mathit{kg}$，且不大于$70\mathit{kg}$．实际销售时，由于多种因素的影响，甲种蔬菜超过$60\mathit{kg}$的部分，当天需要打5折才能售完，乙种蔬菜能按售价卖完．求超市当天售完这两种蔬菜获得的利润额$y$（元$)$与购进甲种蔬菜的数量$x\left(\mathit{kg}\right)$之间的函数关系式，并写出$x$的取值范围；

（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润额$y$（元$)$取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出$2a$元，乙种蔬菜每千克捐出$a$元给当地福利院，若要保证捐款后的盈利率不低于$20\%$，求$a$的最大值．