2019年湖南省株洲市中考数学试卷

$-3$ 的倒数是 $($ 　　 $)$

$\sqrt{2}\times \sqrt{8}=($ 　　 $)$

下列各式中，与 $3x^2{y}^3$ 是同类项的是 $($ 　　 $)$

对于任意的矩形，下列说法一定正确的是 $($ 　　 $)$

关于 $x$ 的分式方程 $\frac{2}{x}-\frac{5}{x-3}=0$ 的解为 $($ 　　 $)$

在平面直角坐标系中，点 $A(2,-3)$ 位于哪个象限？ $($ 　　 $)$

若一组数据 $x$ ，3，1，6，3的中位数和平均数相等，则 $x$ 的值为 $($ 　　 $)$

下列各选项中因式分解正确的是 $($ 　　 $)$

如图所示，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 为反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0)$ 上不同的三点，连接 $\mathit{OA}$ 、 $\mathit{OB}$ 、 $\mathit{OC}$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{AD}\perp y$ 轴于点 $D$ ，过点 $B$ 、 $C$ 分别作 $\mathit{BE}$ ， $\mathit{CF}$ 垂直 $x$ 轴于点 $E$ 、 $F$ ， $\mathit{OC}$ 与 $\mathit{BE}$ 相交于点 $M$ ，记 $\mathit{\Delta AOD}$ 、 $\mathit{\Delta BOM}$ 、四边形 $\mathit{CMEF}$ 的面积分别为 $S_1$ 、 $S_2$ 、 $S_3$ ，则 $($ 　　 $)$

从 $-1$ ，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作 $a_k$ ， $b_k)$ 构成一个数组 $M_K=\{a_k$ ， $b_k\}$ （其中 $k=1$ ， $2\dots S$ ，且将 $\{a_k$ ， $b_k\}$ 与 $\{b_k$ ， $a_k\}$ 视为同一个数组），若满足：对于任意的 $M_i=\{a_i$ ， $b_i\}$ 和 $M_j=\{a_j$ ， $b_j\left\}\right(i\ne j$ ， $1⩽i⩽S$ ， $1⩽j⩽S)$ 都有 $a_i+b_i\ne a_j+b_j$ ，则 $S$ 的最大值 $($ 　　 $)$

若二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}$ 的图象开口向下，则 $a$ 　　0（填" $=$ "或" $>$ "或" $<$ " $)$ ．

若一个盒子中有6个白球，4个黑球，2个红球，且各球的大小与质地都相同，现随机从中摸出一个球，得到白球的概率是　　．

如图所示，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\mathit{CM}$ 是斜边 $\mathit{AB}$ 上的中线， $E$ 、 $F$ 分别为 $\mathit{MB}$ 、 $\mathit{BC}$ 的中点，若 $\mathit{EF}=1$ ，则 $\mathit{AB}=$ 　　．

若$a$为有理数，且$2-a$的值大于1，则$a$的取值范围为　     　．

如图所示，过正五边形 $\mathit{ABCDE}$ 的顶点 $B$ 作一条射线与其内角 $\angle \mathit{EAB}$ 的角平分线相交于点 $P$ ，且 $\angle \mathit{ABP}=60°$ ，则 $\angle \mathit{APB}=$ 　　度．

如图所示，$\mathit{AB}$为$\odot O$的直径，点$C$在$\odot O$上，且$\mathit{OC}\perp \mathit{AB}$，过点$C$的弦$\mathit{CD}$与线段$\mathit{OB}$相交于点$E$，满足$\angle \mathit{AEC}=65°$，连接$\mathit{AD}$，则$\angle \mathit{BAD}=$　　度．

《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？“其意思为：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，现速度慢的人先走100步，速度快的人去追赶，则速度快的人要走　　步才能追到速度慢的人．

如图所示，在平面直角坐标系$\mathit{xOy}$中，在直线$x=1$处放置反光镜Ⅰ，在$y$轴处放置一个有缺口的挡板Ⅱ，缺口为线段$\mathit{AB}$，其中点$A(0,1)$，点$B$在点$A$上方，且$\mathit{AB}=1$，在直线$x=-1$处放置一个挡板Ⅲ，从点$O$发出的光线经反光镜Ⅰ反射后，通过缺口$\mathit{AB}$照射在挡板Ⅲ上，则落在挡板Ⅲ上的光线的长度为　　．

计算：$|-\sqrt{3}|+{\pi }^0-2\cos 30°$．

先化简，再求值：$\frac{a^2-a}{{(a-1)}^2}-\frac{a+1}{a}$，其中$a=\frac{1}{2}$．

小强的爸爸准备驾车外出．启动汽车时，车载报警系统显示正前方有障碍物，此时在眼睛点 $A$ 处测得汽车前端 $F$ 的俯角为 $\alpha$ ，且 $\tan \alpha =\frac{1}{3}$ ，若直线 $\mathit{AF}$ 与地面 $l_1$ 相交于点 $B$ ，点 $A$ 到地面 $l_1$ 的垂线段 $\mathit{AC}$ 的长度为1.6米，假设眼睛 $A$ 处的水平线 $l_2$ 与地面 $l_1$ 平行．

（1）求 $\mathit{BC}$ 的长度；

（2）假如障碍物上的点 $M$ 正好位于线段 $\mathit{BC}$ 的中点位置（障碍物的横截面为长方形，且线段 $\mathit{MN}$ 为此长方形前端的边）， $\mathit{MN}\perp l_1$ ，若小强的爸爸将汽车沿直线 $l_1$ 后退0.6米，通过汽车的前端 $F_1$ 点恰好看见障碍物的顶部 $N$ 点（点 $D$ 为点 $A$ 的对应点，点 $F_1$ 为点 $F$ 的对应点），求障碍物的高度．

某甜品店计划订购一种鲜奶，根据以往的销售经验，当天的需求量与当天的最高气温 $T$ 有关，现将去年六月份（按30天计算）的有关情况统计如下：

（最高气温与需求量统计表）

（1）求去年六月份最高气温不低于 ${30}^{°}\text{C}$ 的天数；

（2）若以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率，求去年六月份这种鲜奶一天的需求量不超过200杯的概率；

（3）若今年六月份每天的进货量均为350杯，每杯的进价为4元，售价为8元，未售出的这种鲜奶厂家以1元的价格收回销毁，假设今年与去年的情况大致一样，若今年六月份某天的最高气温 $T$ 满足 $25⩽T<30$ （单位： ${}^{°}\text{C})$ ，试估计这一天销售这种鲜奶所获得的利润为多少元？

如图所示，已知正方形 $\mathit{OEFG}$ 的顶点 $O$ 为正方形 $\mathit{ABCD}$ 对角线 $\mathit{AC}$ 、 $\mathit{BD}$ 的交点，连接 $\mathit{CE}$ 、 $\mathit{DG}$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta DOG}\cong \mathit{\Delta COE}$ ；

（2）若 $\mathit{DG}\perp \mathit{BD}$ ，正方形 $\mathit{ABCD}$ 的边长为2，线段 $\mathit{AD}$ 与线段 $\mathit{OG}$ 相交于点 $M$ ， $\mathit{AM}=\frac{1}{2}$ ，求正方形 $\mathit{OEFG}$ 的边长．

如图所示，在平面直角坐标系 $\mathit{Oxy}$ 中，等腰 $\mathit{\Delta OAB}$ 的边 $\mathit{OB}$ 与反比例函数 $y=\frac{m}{x}(m>0)$ 的图象相交于点 $C$ ，其中 $\mathit{OB}=\mathit{AB}$ ，点 $A$ 在 $x$ 轴的正半轴上，点 $B$ 的坐标为 $(2,4)$ ，过点 $C$ 作 $\mathit{CH}\perp x$ 轴于点 $H$ ．

（1）已知一次函数的图象过点 $O$ ， $B$ ，求该一次函数的表达式；

（2）若点 $P$ 是线段 $\mathit{AB}$ 上的一点，满足 $\mathit{OC}=\sqrt{3}\mathit{AP}$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PQ}\perp x$ 轴于点 $Q$ ，连结 $\mathit{OP}$ ，记 $\mathit{\Delta OPQ}$ 的面积为 $S_{\mathit{\Delta OPQ}}$ ，设 $\mathit{AQ}=t$ ， $T=O{H}^2-S_{\mathit{\Delta OPQ}}$

①用 $t$ 表示 $T$ （不需要写出 $t$ 的取值范围）；

②当 $T$ 取最小值时，求 $m$ 的值．

四边形 $\mathit{ABCD}$ 是 $\odot O$ 的圆内接四边形，线段 $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径，连结 $\mathit{AC}$ 、 $\mathit{BD}$ ．点 $H$ 是线段 $\mathit{BD}$ 上的一点，连结 $\mathit{AH}$ 、 $\mathit{CH}$ ，且 $\angle \mathit{ACH}=\angle \mathit{CBD}$ ， $\mathit{AD}=\mathit{CH}$ ， $\mathit{BA}$ 的延长线与 $\mathit{CD}$ 的延长线相交于点 $P$ ．

（1）求证：四边形 $\mathit{ADCH}$ 是平行四边形；

（2）若 $\mathit{AC}=\mathit{BC}$ ， $\mathit{PB}=\sqrt{5}\mathit{PD}$ ， $\mathit{AB}+\mathit{CD}=2(\sqrt{5}+1)$

①求证： $\mathit{\Delta DHC}$ 为等腰直角三角形；

②求 $\mathit{CH}$ 的长度．

已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a>0)$

（1）若 $a=1$ ， $b=-2$ ， $c=-1$

①求该二次函数图象的顶点坐标；

②定义：对于二次函数 $y=p{x}^2+\mathit{qx}+r(p\ne 0)$ ，满足方程 $y=x$ 的 $x$ 的值叫做该二次函数的"不动点"．求证：二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 有两个不同的"不动点"．

（2）设 $b=\frac{1}{2}{c}^3$ ，如图所示，在平面直角坐标系 $\mathit{Oxy}$ 中，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的图象与 $x$ 轴分别相交于不同的两点 $A(x_1$ ， $0)$ ， $B(x_2$ ， $0)$ ，其中 $x_1<0$ ， $x_2>0$ ，与 $y$ 轴相交于点 $C$ ，连结 $\mathit{BC}$ ，点 $D$ 在 $y$ 轴的正半轴上，且 $\mathit{OC}=\mathit{OD}$ ，又点 $E$ 的坐标为 $(1,0)$ ，过点 $D$ 作垂直于 $y$ 轴的直线与直线 $\mathit{CE}$ 相交于点 $F$ ，满足 $\angle \mathit{AFC}=\angle \mathit{ABC}$ ． $\mathit{FA}$ 的延长线与 $\mathit{BC}$ 的延长线相交于点 $P$ ，若 $\frac{\mathit{PC}}{\mathit{PA}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5a^2+1}}$ ，求二次函数的表达式．