综合探究

如图1，在矩形 $ABCD$中（ $AB＞AD$），对角线 $AC，BD$相交于点 $O$，点 $A$关于 $BD$的对称点为 $A\prime$．连接 $AA\prime$交 $BD$于点 $E$，连接 $CA\prime$．

（1）求证： $AA`\perp CA`$；

（2）以点 $O$为圆心， $OE$为半径作圆．

①如图2， $\odot O$与 $CD$相切，求证： $AA`=\sqrt{3}CA`$；

②如图3， $\odot O$与 $CA\prime$相切， $AD＝1$，求 $\odot O$的面积．