试确定实数 $a$的取值范围，使不等式组 $\left\{\begin{array}{c}\frac{x}{2}+\frac{x+1}{3}>0，\\ x+\frac{5a+4}{3}>\frac{4}{3}\left(x+1\right)+a\end{array}\right.$恰有两个整数解．