为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环 $\odot O$与水平地面相切于点 $C$，推杆 $AB$与铅垂线 $AD$的夹角为 $\angle BAD$，点 $O，A，B，C，D$在同一平面内．当推杆 $AB$与铁环 $\odot O$相切于点 $B$时，手上的力量通过切点 $B$传递到铁环上，会有较好的启动效果．

（1）求证： $\angle BOC+\angle BAD＝90°$．

（2）实践中发现，切点 $B$只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点 $B$是该区域内最低位置，此时点 $B$距地面的距离 $AD$最小，测得 $\cos \angle BAD=\frac{3}{5}$．已知铁环 $\odot O$的半径为 $25cm$，推杆 $AB$的长为 $75cm$，求此时 $AD$的长．