在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中，角 $A,B,C$ 所对应的边分别为 $a,b,c$ ， $\angle \mathit{ABC}={120}^{\circ }$ , $\angle \mathit{ABC}$ 的平分线交 $\mathit{AC}$ 于点 $D$ ，且 $\mathit{BD}=1$ ,则 $4a+c$ 的最小值为________