如图所示：$\odot O$与$\mathit{\Delta ABC}$的边$\mathit{BC}$相切于点$C$，与$\mathit{AC}$、$\mathit{AB}$分别交于点$D$、$E$，$\mathit{DE}//\mathit{OB}$．$\mathit{DC}$是$\odot O$的直径．连接$\mathit{OE}$，过$C$作$\mathit{CG}//\mathit{OE}$交$\odot O$于$G$，连接$\mathit{DG}$、$\mathit{EC}$，$\mathit{DG}$与$\mathit{EC}$交于点$F$．

（1）求证：直线$\mathit{AB}$与$\odot O$相切；

（2）求证：$\mathit{AE}·\mathit{ED}=\mathit{AC}·\mathit{EF}$；

（3）若$\mathit{EF}=3$，$\tan \angle \mathit{ACE}=\frac{1}{2}$时，过$A$作$\mathit{AN}//\mathit{CE}$交$\odot O$于$M$、$N$两点$(M$在线段$\mathit{AN}$上），求$\mathit{AN}$的长．