背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点 $E$ 、 $A$ 、 $D$ 在同一条直线上），发现 $\mathit{BE}=\mathit{DG}$ 且 $\mathit{BE}\perp \mathit{DG}$ ．

小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：

（1）将正方形 $\mathit{AEFG}$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转（如图 $1)$ ，还能得到 $\mathit{BE}=\mathit{DG}$ 吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由；

（2）把背景中的正方形分别改成菱形 $\mathit{AEFG}$ 和菱形 $\mathit{ABCD}$ ，将菱形 $\mathit{AEFG}$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转（如图 $2)$ ，试问当 $\angle \mathit{EAG}$ 与 $\angle \mathit{BAD}$ 的大小满足怎样的关系时，背景中的结论 $\mathit{BE}=\mathit{DG}$ 仍成立？请说明理由；

（3）把背景中的正方形分别改写成矩形 $\mathit{AEFG}$ 和矩形 $\mathit{ABCD}$ ，且 $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{AG}}=\frac{\mathit{AB}}{\mathit{AD}}=\frac{2}{3}$ ， $\mathit{AE}=4$ ， $\mathit{AB}=8$ ，将矩形 $\mathit{AEFG}$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转（如图 $3)$ ，连接 $\mathit{DE}$ ， $\mathit{BG}$ ．小组发现：在旋转过程中， $D{E}^2+B{G}^2$ 的值是定值，请求出这个定值．