一转动装置如图所示，四根轻杆 $OA$ 、 $OC$ 、 $AB$ 和 $CB$ 与两小球以及一小环通过铰链连接，轻杆长均为l，球和环的质量均为 $m$ ， $O$ 端固定在竖直的轻质转轴上，套在转轴上的轻质弹簧连接在 $O$ 与小环之间，原长为 $L$ ，装置静止时，弹簧长为 $3L/2$ ，转动该装置并缓慢增大转速，小环缓慢上升。弹簧始终在弹性限度内，忽略一切摩擦和空气阻力，重力加速度为 $g$ ，求

（1）弹簧的劲度系数 $k$ ；

（2）AB杆中弹力为零时，装置转动的角速度 ${\omega }_0$ ；

（3）弹簧长度从 $3L/2$ 缓慢缩短为 $L/2$ 的过程中，外界对转动装置所做的功 $W$ 。