设函数$f\left(x\right)=\ln \left(1+x\right),g\left(x\right)=xf`\left(x\right),x\ge 0$，其中$f`\left(x\right)$是$f\left(x\right)$的导函数.
$g_1\left(x\right)=g\left(x\right),g_{n+1}\left(x\right)=g\left(g_n\left(x\right)\right),n\in N_{+}$，
(1)求$g_n\left(x\right)$的表达式；
(2)若$f\left(x\right)\ge ag\left(x\right)$恒成立，求实数$a$的取值范围；
(3)设$n\in N_{+}$，比较$g\left(1\right)+g\left(2\right)+\cdots +g\left(n\right)$与$n-f\left(n\right)$的大小，并加以证明.