如图5，O为坐标原点，双曲线C1:x2a12-y2b12=1

科目：数学
题型：解答题
难度：较难
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题文

如图5， $O$ 为坐标原点，双曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{{a_{1}}^{2}} - \frac{y^{2}}{{b_{1}}^{2}} = 1 (a_{1} > 0, b_{1} > 0)$ 和椭圆 $C_{2} : \frac{x^{2}}{{a_{1}}^{2}} + \frac{y^{2}}{{b_{2}}^{2}} = 1 (a_{2} > b_{2} > 0)$ 均过点 $P (\frac{2 \sqrt{3}}{3}, 1)$ ，且以 $C_{1}$ 的两个顶点和 $C_{2}$ 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.
(1)求 $C_{1}, C_{2}$ 的方程；
(2)是否存在直线 $l$ ，使得 $l$ 与 $C_{1}$ 交于 $A, B$ 两点，与 $C_{2}$ 只有一个公共点，且 $|\overset{⇀}{O A} + \overset{⇀}{O B}| = |\overset{⇀}{A B}|$ ？证明你的结论.

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