长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$的各顶点都在球 $O$的球面上，其中 $AB:AD:A{A}_1=1:1:\sqrt{2}$． $A,B$两点的球面距离记为 $m$， $A,D_1$两点的球面距离记为 $n$，则 $\frac{m}{n}$的值为．