探究某种笔的弹跳问题时，把笔分为轻质弹簧、内芯和外壳三部分，其中内芯和外壳质量分别为$m$和$4m$.笔的弹跳过程分为三个阶段：

①把笔竖直倒立于水平硬桌面，下压外壳使其下端接触桌面（见题图a）；
②由静止释放，外壳竖直上升至下端距桌面高度为$h_1$时，与静止的内芯碰撞（见题图b）；
③碰后，内芯与外壳以共同的速度一起上升到外壳下端距桌面最大高度为$h_2$处（见题图c）。
设内芯与外壳的撞击力远大于笔所受重力、不计摩擦与空气阻力，重力加速度为$g$。求：
（1）外壳与内芯碰撞后瞬间的共同速度大小；

（2）从外壳离开桌面到碰撞前瞬间，弹簧做的功；

（3）从外壳下端离开桌面到上升至$h_2$处，笔损失的机械能。